В треугольнике ABC провели медиану BM и биссектрису BK (точка M лежит между точками K и C). Оказалось, что треугольники CBK и BKM — равнобедренные с основаниями ВС и BM соответственно. Найдите сумму углов ВМК и ВСК. Ответ выразите в градусах.

Задание олимпиады всегда интересны тем, что приходится думать, а значит - напрягать мозг. Попробуем решить задачу с треугольником за 8 класс.
Нужно найти сумму углов ВМК и ВСК, да ещё и в градусах. О как. Посмотрим.
Для нахождения суммы углов BMK и BCK мы можем воспользоваться следующими свойствами равнобедренного треугольника:
Можно ещё разобраться со свойствами дессектрисы и медианы, но, думаю, это лишнее. Вышеуказанное нам и так даёт простор для выводов.
Смотрите, у нас BKM - равнобедренный треугольник, а значит угол BKM равен углу BCK и угол при основании BKM равен углу BCK. Всё по свойствам равнобедренного треугольника, ничего не выдумываем.
Дальше у нас есть ещё  один равнобедренный треугольник - это СВК, поэтому угол CBK равен углу MBK, так как в дополнение что CBK - равнобедренный треугольник, там ещё и биссектриса BK делит угол B в CBK пополам.
Таким образом, сумма углов BMK и BCK равна:
BMK + BCK = BKM + CBK = BKM + MBK
Поскольку BKM и MBK - это углы в треугольнике BKM, сумма этих двух углов равна 180 градусам.
Итак, сумма углов BMK и BCK равна 180 градусам.