Окружность радиуса 4 касается внешним образом второй окружности в точке В. Общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку В, пересекается с некоторой другой их общей касательной в точке A. Найдите радиус второй окружности, если AB=6.

Для начала - нарисовать рисунок.
Пусть у нас центры этих двух окружностей находятся в точках О1 и О2. Проведём в каждой окружности радиусы в точки касания этой косой касательной - это будут точки С1 и С2. Соединим точку А с центрами.
Не штука доказать, что угол О1АО2 - прямой. Ну натурально: из точки А проведены две касательных к окружности О1. Как известно, расстояния общей точки двух касательных до точек касания равны, а прямая, соединяющая точку А с центром окружности, является биссектрисой образуемого ими угла. То есть АО1 есть биссектриса угла С1АВ. То же самое можно сказать и о прямой О2А - это тоже биссектриса угла С2АВ. Меж тем угол С1АС2 - развёрнутый, он равен 180 градусам. И из рисунка видно, что он есть сумма четырёх других углов, которые попарно равны. Значит, сумма половинок равна половинке от всего, то есть 90 град.
Идём дальше. Путь радиус 4 - это для окружности О1 (нам по фигу, какую взять). Вспоминаем, что радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Это значит, что прямая О1О2 перпендикулярна прямой АВ, то есть треугольник О1АИ - прямоугольный, причём гипотенуза его, О1А, как легко сообразить, равна √52. Но эта же гипотенуза для треугольника О1АО2, тоже прямоугольного, - катет. А коль скоро АВ┴О1О2, то треугольник О1АО2 подобен треугольнику О1АВ, ибо высота, опущенная на гипотенузу, разбивает исходный треугольник на два подобных исходному. Так что для одного треугольника катеты относятся как 4:6, то для другого, ему подобного, они относятся так же. Значит, катет О2А равен 1,5*√52, а гипотенуза будет равна 13.
Ну вот осталось из 13 вычесть 4 - это и будет радиус второй окружности...