Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 5√2. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Обозначим через R длину радиуса основания данных конуса и цилиндра.
Площадь боковой поверхности конуса определяется по формуле
Sбк = piRL,
где L - длина образующей конуса.
Так как высота конуса и радиус его основания равны, то по теореме Пифагора
L = (R^2+R^2)^0,5 = R*2^0,5,
и формулу для боковой поверхности конуса можно переписать в виде
(1) Sбк = piR^2*2^0,5.
Площадь боковой поверхности цилиндра определяется по формуле
Sбц = 2piRH,
где Н - высота цилиндра.
Так как высота цилиндра и радиус его основания равны, то формулу для боковой поверхности цилиндра можно переписать в виде
(2) Sбц = 2piR^2.
Разделим равенство (1) на равенство (2). После сокращения общих множителей получаем
Sбк/Sбц = 1/2^0,5, или
Sбк = Sбц/2^0,5.
Подставляя сюда известное по условию задачи значение Sбц, получаем
Sбк = 5*2^0,5/2^0,5 = 5.
Ответ: 5.