Даны вершины треугольника ABC
Найти; 1) уравнение прямой, проходящей через точку A параллельно стороне BC
2) уравнение медианы треугольника, проведенной из вершины B;
3) длину высоты, опущенной из вершины
C.
A(0;4); B(3;1); C(2;-3).

1) Зная координаты вершин Можем узнать координаты вектора BC (2-3; -3-1) = BC(-1; -4)
Прямая проходящая через точку A должна идти коллинеарно вектору BC, то есть
(х-0) = k•(-1)
(y-4) = k•(-4)
откуда получаем -х=k и -y/4 +1 = k, приравниваем k
-x = -y/4 + 1 или
4x - y = -4
2) Медиана треугольника приходит в середину противоположной стороны. То есть в точку М - середина AС. Её координаты х = (0+2)/2 = 1; y = (4+(-3))/2 = 0,5; M(1; 0,5)
Получаем медиана идет из точки B в направлении вектора MB (3-1; 1-0,5) = MB (2; 0,5)
Получаем (x-3)/2 = (y-1)/0,5
0,5х - 1,5 = 2y - 2
x - 4y = -1
3) Высота из вершины С перпендикулярна стороне AB. То есть Вектора AB и CH ортогональны и их скалярное произведение = 0
AB (3-0; 1-4) = AB(3; -3)
CH (x-2; y-(-3))
<AB•СH> = 3•(х-2) + (-3)•(y+3) = 0
3x-6 - 3y - 9 = 0
x-y = 5 - получили уравнение прямой высоты CH
Уравнение прямой AB: (х-0)/3 = (y-4)/(-3)
x+y = 4
Точка Н - пересечение этих двух прямых:
Решая систему уравнений подстановкой, находим х=4,5; y=-0,5
CH (4,5-2; -0,5+3) = CH(2,5; 2,5)
|CH| = √(2,5² + 2,5²) = 2,5•√2
Ответ:
1) 4x - y = -4;
2) x - 4y = -1;
3) 2,5•√2