Две окружности с центрами О₁ и О₃ и радиусами 4,5 и 2,5 касаются друг с другом внешним образом и внутренним образом касаются окружности с центром O₂ радиусом 7,5. Найдите градусную меру угла O₁O₂O₃.

Для понимания решения смотрим рисунок.
Знаем, что в точках касания окружностей, радиусы перпендикулярны касательной, то есть радиусы окружностей, проведенные в точку касания лежат на одной прямой.
Тогда О₁О₃ = R₁ + R₃ = 4,5 + 2,5 = 7
О₁О₂ = R₂ - R₁ = 7,5 - 4,5 = 3
О₃О₂ = R₂ - R₃ = 7,5 - 2,5 = 5
Теперь рассмотрим ∆О₁О₂О₃. В нем знаем три стороны и по теореме косинусов можем найти угол треугольника
О₁О₃² = О₁О₂² + О₃О₂² - 2О₁О₂•О₃О₂•cos∠O₁O₂O�₃
7² = 3² + 5² - 2•3•5•cos∠O₁O₂O₃
-30•cos∠O₁O₂O₃ = 49 - 9 - 25
cos∠O₁O₂O₃ = -15/30 = -1/2
∠O₁O₂O₃ = 120˚
Ответ: ∠O₁O₂O₃ = 120˚