В прямоугольном треугольнике АВС  с прямым углом С проведена высота СD. Найдите величину угла А, если DB=8, а ВС=16.

Рисунок:
Т.к. CD -- высота, то угол(CDB)=pi/2, где pi -- вездесущее число пи. По теореме синусов, DB/sin(угол(BCD)) = BC/sin(угол(CDB)) = BC/sin(pi/2) = BC. Отсюда, угол(BCD) = arcsin(DB/BC) = arcsin(8/16) = arcsin(1/2) = pi/6.
По условию, угол(BCA)=pi/2, а т.к. угол(BCA)=угол(BCD)+�угол(DCA), то угол(DCA) = угол(BCA)-угол(BCD) = pi/2 - pi/6. В треугольнике ADC, по известной теореме, угол(DAC)+угол(ADC)+�угол(DCA) = pi. Угол DCA нашли ранее, а угол(ADC)=pi/2 т.к. CD -- высота. Это даёт возможность немедленно вычислить искомый угол A как
угол(DAC) = pi-угол(ADC)-угол(DCA) =
= pi - pi/2 - (pi/2 - pi/6) = pi/2 - pi/2 + pi/6 = pi/6.
Если я не запутался в арифметике, то угол при вершине A равен pi/6 (или 30 градусов).