Очевидно, многие помнят русскую народную сказку «Про курочку, которая несла золотые яйца». Так вот, на фото то самое золотое яйцо, а на рисунке изображено его осевое сечение. Образующая поверхности получена тремя окружностями касающимися в точках А, В и С. Окружность с центром в точке О₂ в два раза больше за окружность с центром О₁ и в два раза меньше за - О₃.

Вначале немного элементарной геометрии. Для определённости обозначим верхнюю точку на чертеже яйца точкой D, и нижнюю - точкой Е. Из точек А, В и О3 проведём перпендикуляры к оси яйца, и точки пересечения этих перпендикуляров обозначим точками А1, В1, О4. Из рисунка без особых пояснений понятно, что радиус меньшей окружности равен 1, радиус большей окружности равен 2, радиус дуги ВА равен 4.
Площадь равнобедренного треугольника О1О2О3 (по формуле Герона) равна ?(. Тогда отрезок О3О4 равен 2*√(/3=√(32/9). Из треугольника О2О3О4 по теореме Пифагора вычисляем О2О4=2/3. Тогда отрезок О1О4 равен 7/3.
Треугольники О1О3О4 и О1ВВ1 подобны с коэффициентом подобия 3. Тогда О1В1=7/9, а В1D=2/9.
Треугольники О2О3О4 и О2АА1 - равны, значит отрезок О2А1 равен 2/3, а А1Е=4/3.
Очевидно, что яйцо является телом вращения. Его можно разбить на три фрагмента, полученных вращением дуг DВ, АЕ, и АВ вокруг оси яйца. Теперь, немного высшей математики. Для этого в чертеже яйца нужно ввести оси координат. Ось Х будем направлять по оси яйца, ось Y - перпендикулярно ей. Положения начала координат и направления осей будем выбирать в каждом конкретном случае индивидуально.
Рассмотрим первый фрагмент. Для его вычисления начало координат поместим в точку О1, а ось Х направим от О1 к D. Тогда уравнение меньшей окружности y^2+x^2=1^2, отсюда y^2=1-x^2.
Объём первого фрагмента V1=Пи *S1, где символом S1 обозначен интеграл от функции (1-x^2)dx т.е.(x-x^3/3) с пределами интегрирования от 7/9 до 1, т.е.
S1=1-1/3-7/9+(7/9)^3/3= =-1/9+343/2187=100/2187.
Рассмотрим второй фрагмент. Начало координат поместим в точку О2, а ось Х направим от О2 к Е. Тогда уравнение меньшей окружности y^2+x^2=2^2, отсюда y^2=4-x^2.
Объём второго фрагмента V2=Пи *S2, где символом S2 обозначен интеграл от функции (4-x^2)dx т.е.(4x-x^3/3) с пределами интегрирования от 2/3 до 2, т.е.
S2=8-2^3/3-4*2/3+(2/3)^3/3= =8+8/81=656/81
Третий фрагмент. Начало координат поместим в точку О4, а ось Х направим от О4 к D. Тогда уравнение дуги АВ будет иметь вид: (y-√(32/9))^2+x^2=4^2.
Определим вид функции y^2:
(y-√(32/9))^2=16-x^2, y-√(32/9)=√(16-x^2), y=√(32/9)+√(16-x^2),
y^2=32/9+2*√(32/9)*√(16-x^2)+16-x^2, y^2=112/9+√(2048/9-(128/9)x^2)-x^2.
Объём третьего фрагмента V3=Пи *S3, где символом S3 обозначен интеграл от функции
f(x)=(112/9+√(2048/9-(128/9)x^2)-x^2)dx с пределами интегрирования от -4/3 до 28/9.
Вычислять этот интеграл мне совсем не хочется, оставлю эту возможность тем, кто тоже захочет приложить руку и голову к решению этой задачи.
Напомню, что вычисленные интегралы (S1, S2, S3) нужно сложить, сумму умножить на Пи, что и даст объём яйца.
И ещё одно замечание. Я несколько раз прерывался, и при каждом открытии обнаруживал, что тупой редактор БВ мне каждый раз заменял символ квадратного корня √ на символ вопросительного знака ?. Поскольку в использованных мной формулах вопросительных знаков нет, то каждый символ ? нужно заменить на символ √.