Как решить При каком значении параметра k уравнение |x²+2x-3|=k имеет ровно три корня?.

Заметим, что уравнение |x²+2x-3|=k равносильно системе уравнений:
x²+2x-3=k, если x²+2x-3≥0
-x²-2x+3=k, если x²+2x-3<0
Рассмотрим первое уравнение. Оно задает параболу, которая направлена вверх и пересекает ось OX в точках x=-3 и x=1. Ее вершина находится в точке (-1,-4).
Рассмотрим второе уравнение. Оно задает параболу, которая направлена вниз и также пересекает ось OX в точках x=-3 и x=1. Ее вершина находится в точке (-1,2).
Если k>2, то вторая парабола не пересекает прямую y=k, так как она лежит выше этой прямой. Если k< -4, то первая парабола не пересекает прямую y=k, так как она лежит ниже этой прямой.
Таким образом, условие на три корня может быть выполнено только если прямая y=k пересекает обе параболы, и при этом каждая парабола пересекает эту прямую не более, чем в одной точке.
Для того чтобы найти такое значение параметра k, найдем точки пересечения каждой из парабол с прямой y=k. Для первой параболы получим следующее уравнение:
k = x²+2x-3
x²+2x-3-k=0
D = 4+4k
x1,2 = (-2±√(4+4k))/2 = -1±√(1+k)
Для того, чтобы первая парабола пересекала прямую y=k не более, чем в одной точке, необходимо и достаточно, чтобы дискриминант D был равен нулю:
4+4k=0
k=-1
Для второй параболы уравнение будет следующим:
k = -x²-2x+3
x²+2x-(3+k)=0
D = 4-4(3+k)
x1,2 = (-2±√(4-4(3+k)))/2 = -1±√(-11-4k)
Заметим, что при любом k вторая парабола пересекает прямую y=k в двух точках, так как ее вершина находится выше этой прямой. Таким образом, чтобы общее количество корней было равно 3, необходимо и достаточно, чтобы первая парабола пересекала прямую y=k в одной точке, а вторая - в двух точках.
Подставляя значение k=-1 в уравнение второй параболы, получим:
k = -x²-2x+3 = -1
x²+2x=4
(x+2)(x-2)=0
Таким образом, корнями первого уравнения будут x=-2 и x=1-√2, а корнями второго уравнения - x=-2 и x=1+√2.
Ответ: k=-1.
                                                                              

Квадратный трёхчлен под знаком абсолютной величины имеет корни -3 и 1. Его график представляет собой параболу, часть которой (при х между -3 и 1) расположена ниже нуля. График этого трёх члена, взятого по абсолютной величине, представляет собой уходящие вверх две ветви параболы (при х<-3 и х>1) и перевёрнутую относительно оси х дугу параболы (при х между -3 и 1).
Очевидно горизонтальные прямые, соответствующие отрицательным значениям k, не пересекают график. Три точки пересечения (точнее две точки пересечения и одна точка касания, и соответственно три корня) имеются при х, соответствующем вершине параболы:
х = (-3+1)/2 = -1 и k = |(-1)^2+2*(-1)-3| = |-4| = 4.
При других неотрицательных значениях k будет две или четыре точки пересечения (два или четыре корня).
Ответ: при k = 4.