Автомобиль проехал четверть пути со скоростью 66 км/ч, а оставшееся расстояние – со скоростью 99 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Сыррожа решил это задачу, применяя среднее арифметическое. Это не совсем верно.
Однако, некое  среднее в этом случае применить можно, используя 'математическое шаманство'. Это будет среднее с учётом влияния каждого параметра.
То есть, среднее, например, трёх чисел "a", "b" и "c" будет рассчитываться так:
((a*k1) + (b*k2) + (c*k3)) / (k1 + k2 + k3),
где "k1", "k2" и "k3" коэффициенты влияния каждого из чисел "a", "b" и "c" на общий процесс.
Очевидно, что в случае среднего арифметического для трёх чисел, эти коэффициенты влияния будут
k1 = k2 =k3 = 1 и тогда формула для среднего арифметического сводится к привычной:   
(a + b + c) / 3
И так, вернёмся к задаче. Нам нужно весь путь разбить на равные по длине участки и рассмотреть на каждом из них скорость движения. эти скорости и войдут в формулу для определения средней скорости.
По условию задачи таких участков четыре. На первом из них автомобиль двигался со скоростью 66км/ч, на втором, третьем и четвёртом участках автомобиль двигался с одинаковой скоростью в 99км/ч, таким образом, формула расчёта средней скорости в нашем случае будет выглядеть так:
((k1*66км/ч)  + (k2*99км/ч) + (k3*99км/ч) + (k4*99км/ч))  / (k1 + k2 + k3 + k4),
остаётся определиться с коэффициентами влияния. В случае расчёта средней скорости это будет то время, которое автомобиль влиял своей скоростью на общий процесс движения. Очевидно, чем меньше его скорость на участке, тем более будет это время влияния.
Заметим, что:
99км/ч / 66км/ч = 1.5,
то есть, автомобиль на первом участке влиял своей скоростью в 1.5 раза больше, чем на других участках.
Если принять, что k2 = k3 = k4 = 1, то тогда будет k1 = 1.5, что даёт такой вид формуле и дальнейшим вычислениям:
((1.5*66км/ч)  + (1*99км/ч) + (1*99км/ч) + (1*99км/ч))  / (1.5 + 1 + 1 + 1) =
(99км/ч + 99км/ч + 99км/ч + 99км/ч) / 4.5  =
396км/ч / 4.5 = 88км/ч
Как видно, результат вычисления вполне себя оправдал. Среднюю скорость движения можно  рассчитывать, как среднее разных скоростей на одинаковых участках пути с учётом влияния каждого параметра.
                                                                              

Средняя скорость, это частное от деления всего пути на всё затраченное время.
В нашем случае расстояние можно брать любым, пусть оно задаётся, как 1км и распадается на два участка 1/4км и 3/4км, следовательно, затраченное время на этих участках будет:
(1/4км) / 66км/ч = 0.0038ч,
и
(3/4км) / 99км/ч = 0.0076ч,
всё время в сумме: 
0.0038ч + 0.0076ч = 0.0114ч,
тогда средняя скорость будет равна:
1км / 0.0114ч = 88км/ч
Ответ: срденяя скорость равна 88км/ч

Поскольку в задачке не ребуется определять ни путь, пройденный автомобилем, ни время в пути, то остается оперировать только со скоростями, коих по условию есть два значения.
Потому отбросим условия, касающиеся частей пути, где автомоблиь ехал с разными скоростями (нам это "по барабану"), и тупо посчитаем суммарную среднюю скорость:
(66 + 99) / 2 = 82,5 км/час.
Вот, как-то так...

Пусть весь путь равен 4х.
Имеем следующие равенства
66а=х и 99в=3х, где а и в  соответствующие времена.
Средняя скорость равна :
4х/(а+в)=4х/(х/66+3х�/99=
=4/(1/66 + 1/33)=
=4/(1/66+2/66)=
=4*66/3=4*22=88 км/час
Ответ:средняя скорость движения автомобиля составит 88 км/час