Имеется ввиду вопрос детерминизма и предсказуемости поведения трёх тел при равных начальных условиях.

Детерменизм, да, говорит о том, что результат будет предсказуемым. Собственно, об этом же говорит и Ньютон своими уравнениями, и Коши своей теоремой. Коль скоро начальные условия (координаты и скорости) тел заданы, то уравнения должны иметь одно-единственное решение. То, что до сей поры это решение, за исключением частных случаев (см. точки Лагранжа) не найдено, - совершенно отдельная проблема.
Но фишка тут в том, что более века назад Анри Пуанкаре доказал (математически доказал!), что никаким детерменизмом тут на самом деле и не пахнет. Что в реальности поведение системы, даже при идентичных начальных условиях, каждый раз оказывается непредсказуемым. Из этой его работы и развилась теория хаоса. Это противоречие с теоремой Коши вызвано тем, что в реальности тела испытывают возмущения от окружения. Во Вселенной всё ж больше тел, чем три, и даже малейшие возмущения (которые можно трактовать как "шум" в начальных условиях), которые накладываются на взаимодействие этих трёх тел, в результате на длинной дистанции приводят к непредсказуемому поведению системы.
                                                                              

Взаимодействие трех тел скорее всего сведется к взаимодействию двух. Это верно и с чисто математической точки зрения. Просто выбираем любое одно тело из этих трех и "смотрим", как действуют на него два остальных. А действие этих тел (сил) можно свести к действию результирующей силы (то есть одного "комбинированного тела" или системы). Дальше уже всё по схеме,то есть по алгоритму, согласно законам сохранения. Внутри самой системы два тела будут взаимодействовать по такому же сценарию.