О кривой известно, что она пересекает ось ординат под углом 45°
Система координат - прямоугольная декартовая
Школьная программа

a =  1/e.
y'(0)= aˣ·lna | ₓ₌₀ = lna = tg135° = −1.
                                                                              

Ответ для simpl [76.7K]
Давайте разберём ваши рассуждения, а Евгений Борисович за себя сам ответит.
Задан угол к оси Oy - это правильно.
Дополнительный угол пока рассматривать не будем, а посмотрим, что за заданный угол и как расположена касательная.
Вспоминаем, как задаётся угол между прямой и координатной осью.
Если прямая пересекает координатную ось в некоторой точке M, то угол между прямой и осью - это угол поворота координатной оси вокруг точки М необходимый для совмещения её с прямой.
В случае, если поворот координатной оси происходит против хода часовой стрелки, то угол имеет положительное числовое значение (в школе - градусы или радианы), а если поворот оси будет по часовой стрелке, то значение угла - отрицательное.
Так же определяются и тригонометрические углы, как углы поворота радиус-векторов по или против хода часовой стрелки.
В нашем случае - угол 45°, это значит, что для того, чтобы совместиться с касательной, ось Oy должна повернуться вокруг точки пересечения против часовой стрелки. Исходя из этого, т.к. касательная пересекает ось Oy в точке с координатами (0; 1), то вся она лежит во 2-й, 1-й и 4-й координатных углах (квадрантах).
Заметим, что угол пересечения с осью Oy мог бы быть задан и величиной -135° - это была бы та же самая прямая. А теперь несложно сообразить, что угол между прямой и осью Ox  равен на самом деле 135° (φ + 90°). Врочем, вместо всех рассуждений можно было бы просто посмотреть на чертёж и всё сразу бы стало ясным.
И далее по накатанной схеме, как вы ещё в первом решении предложили:
dy/dx=a^x*ln(a)..
dy/dx(0)=a^0*ln(a)=t��g 45=1..
Только в этой записи вместо 45 следует поставить 135°, и значение тангенса получится tg(135°)=tg(180°-45°�)=tg(-45°)=-tg45°=-1
Отсюда после выполнения преобразований будет ответ a=1/e

Действительно задан угол наклона кривой не к оси Х, а к оси У..
Значит рассматривается дополнительный угол к углу, который характирезует производную..
Строго говоря задан угол между осью у и кривой, т.е.  tg(90°-φ)=y'(0)..
Т.е. уж совсем строго в общем случае tg(90°-φ)=ln(a) в точке 0..
ctg(φ)=ln(a) и тогда в общем случае будет e^(ctg(φ))=a..
Но в данном случае угол φ между 45°, а значит всё равно будет а=е..
И всё равно будет экспонента..
В своём комменте Евгений Броисович допустил сам несколько ошибок, так:
Производная в некой точке равна тангенсу наклона, а не "просто угол равен производной"..Угол, характирезующий наклон - это дополнительный угол, т.е. 90°-φ, а не90°+φ..
И кроме того легко увидеть, что если бы а=1/е, как утверждает сей пользователь, то согласно общему свойству показательных функций эта функция будет убывающей, поскольку а<1, угол с осью У не будет 45 градусов, это будет тупой угол..
Тогда как в задании сказано, что угол острый и значит функция должна быть возрастающая..
Т.е. применяя общие свойства без производной можно сделать некие выводы..

Дана некая кривая, заданная уравнением y=a^x..
При этом известно, что она пересекает ось ординат под углом 45 градусов..
Всё просто..
Берём производную от данной функции, поскольку известен наклон касательной, а это и есть производная в данной точке..
dy/dx=a^x*ln(a)..
dy/dx(0)=a^0*ln(a)=t�g 45=1..
Отсюда:
ln(a)=1..
Отсюда a=e..
Т.е. параметр равен числу е, числу Эйлера и функция будет:
y=e^x