Как решить Какое возможно взаимное расположение двух окружностей на плоскости?.

Давайте введем условные обозначения:
d - расстояние между центрами двух окружностей
r1 - радиус первой окружности
r2 - радиус второй окружности
И скажем также, что r1 >= r2
Теперь давайте переберем все возможные варианты расположения двух окружностей:
1) Окружности не пересекаются(0 общих точек)
a) Одна окружность находится внутри другой(условие:r1 > r2 + d)
b) Две обособленные окружности(условие:r�1 + r2 < d)
2) Окружности пересекаются в одной точке
a) Окружности касаются внутренним образом(условие: r1 = r2 + d)
b) Окружности касаются внешним образом(условие: r1 + r2 = d)
3) Окружности имеют две общие точки(условие: r1 + r2 > d)
4) Окружности имеют бесконечное множество общих точек(условие: d = 0, r1 = r2)
                                                                              

Вложенные: одна окружность полностью внутри другой. Частный случай - концентрические окружности (необходимое условия - что у них разные радиусы).
Непересекающиеся, когда окружности находятся вне друг друга.
Пересекающиеся окружности - когда у них есть две общие точки.
Касательные: одна окружность касается другой в одной точке. Причём касание может быть внешнее (окружности расположены по разные стороны от точки касания), а может быть внутреннее (окружности по одну сторону от точки касания).

2 окружности на плоскости могут располагаться друг относительно друга следующим образом:
Пересекаться в 2-х точкахОдна может находиться внутри другойИметь внешнее касаниеИметь внутреннее касаниеРасполагаться поодаль друг от друга

Я вижу следующие возможные варианты расположения:
есть две точки пересечения (общие точки для обеих окружностей);есть одна точка соприкосновения, общая для обеих окружностей;точек пересечения - соприкосновения у окружностей нет.если окружности одинаковы по размеру, то есть еще вариант полного совпадения, но это, по сути, будет уже одной окружностью;если одна из окружностей меньше, то она также может полностью располагаться внутри другой окружности, не имея точек пересечения, но, по сути, это ничем не будет отличаться от варианта 3.

Давайте прокрутим чисто в голове такой мультфильм. У нас две окружности. Одна большая, другая маленькая.
Они пока далеко друг от друга (а), но малая приближается к большой. 
Вот малая коснулась одной точкой большую (б), а затем стала наползать на неё, пересекаясь с ней, но всё ещё оставаясь своей большей частью снаружи (в). Вот малая окружность вползла внутрь большой так, что уже почти вся внутри, лишь малая часть её ещё снаружи (г). И вот она уже внутри, только одна точка у них пока общая (д). А вот уже и ничего общего, малая полностью внутри большой (е). А вот она сдвинулась так, что их центры совпали (ё). И тут малая окружность стала увеличиваться, пока не сделалась точно такой же, как большая, полностью совпав с ней (ж).