Даны два равносторонних треугольника ABD и BCE. Построена четверть окружности FGED с центром F и радиусом FD=FE=FG. Точки A, F, B, G и C лежат на одной прямой (см. рис.). Найдите длину отрезка  DE, если известно, что площадь сектора круга FGED равна 9π.

Рисунок перерисовывать не буду. он уже есть.
1) То что FGED - четверть окружности с центром F и радиусом FD=FG, дает то, что FD ⟂ FG, а значит FD - высота в ∆ADB (она же медиана в равностороннем треугольнике).
2) Если площадь четверти круга равна 9π, то площадь всего круга равна 4•9π = 36π
Но площадь круга S = πR² = 36π, откуда R² = 36 и FD = R = 6
3) высота в равностороннем треугольнике h = a√3/2
(если не помним, то из ∆DFB -прямоугольный. по теореме Пифагора: FD² = DB² - FB², FB=DB/2
FD² = DB² - (DB/2)² = 3DB²/4 и FD = DB√3/2)
Таким образом DB = 2FD/√3 = 2•6/√3 = 12/√3 = 4√3
4) Так как ∆BEC равносторонний, то ∠EBC = 60˚ => ∠ABE = 180˚ - ∠EBC = 120˚ (смежный угол)
5) Рассмотрим ∆FBE: FE = 6; FB = DB/2 = 2√3 и ∠FBE = 120˚
По теореме косинусов FE² = FB² + BE² - 2FB • BE • cos(∠FBE)
36 = 12 + BE² - 2•2√3•(-0,5)•BE
BE² + 2√3BE - 24 = 0
D = 12 + 4•24 = 108 = 3•36
ВЕ = (-2√3 + 6√3)/2 = 2√3 (второй корень отрицательный и не подходит)
Получили BE = FB
6)Рассмотрим ∆DBF и ∆DBE: DB=DB (общая), FB=BE, и ∠FBD = ∠DBE = 60˚ => ∆DBF = ∆DBE и тогда DE = DF = 6
Ответ: DE = 6