Как это решить Быстрорастущее дерево или быстроростущее дерево - как правильно?.

Для правильного написания этого сложного прилагательного, состоящего из двух основ, надо применить правило о написании гласной буквы в корнях слова раст/ рос, ращ.
Согласно правилу в корнях "раст/ ращ" перед "ст" и "щ" пишется буква "а". Перед "с" буква "о".
Из этого правила есть исключения: росток, Ростислав, Ростов, ростовщик, отрасль. Так же производные от этих слов.
Првильно написать слово: быстрорастущее дерево.
Быстрорастущее дерево сливы затенило клумбу с розами.
Быстрорастущее дерево яблони пришлось вырубить,это была не привитая дичка.
Быстрорастущее дерево вишни в этом году дало первые ягоды.
                                                                              

Речь идёт о корнях русского языка с чередующейся гласной в корне слова. Корни с  чередованием нельзя проверять ударением, нужно знать правило!
Корни с чередование а - о:
Раст (ращ) / рос буква А пишется перед -СТ-, -Щ-, буква О – перед -С-.
Исключения: росток, отрасль, поросль, Ростов, Ростислав.
Следовательно, правильно:
Быстрорастущее дерево!