Как правильно пишется слово "нечутко"?
Как пишется наречие "не чутко"?

Поскольку имя прилагательное "нечуткий" (слитно) есть в русском языке и находится во многих словарях, то и слова "нечутко" (слитно) не может не быть. Это и наречие (как? - нечутко), и краткое прилагательное (каково? - нечутко).
В наличии слова "чуткий" и слова "чутко" никто из грамотных носителей русского языка не засомневается, поэтому написание "не чутко" (раздельно) также сомнений не вызовет.
А во время выбора между "нечутко" и "не чутко" мы руководствуемся очень известным правилом:
При явном отрицании пишется в предложении "не чутко". Например: "Спал Павел вовсе не чутко, а очень-очень глубоко". При утверждении признака нечуткости пишется в высказывании "нечутко". Применяется относительно редко.