Как это решить Как правильно пишется слово Верноподданнический? Почему?.

Слово, орфографии которого посвящен вопрос, является именем прилагательным, так как называет признак предмета, отвечая на вопрос какой? В современной речи вряд ли можно услышать это слово, оно считается устаревшим, равно как и прилагательное верноподданный.
Если его разобрать по составу, получится следующая картина - верн-о-подданн-ый - корень-соединительная гласная/интерфикс-корень-окончание.
Прилагательное относится к сложным, так включает два корня. Между ними соединительная гласная о, так как в нашем родном языке в роли интерфикса выступает е/о, но не и/а.
Удвоенные согласные д и н находятся в корне слове, проверить их не получится. Самое простое - запомнить правописание данного слова.