Как будет правильно: не частный или нечастный?
Слитно или раздельно?
Нечастный или не частный?
Как объяснить правописание?

Начнем с универсального правила, подходящего для правописания не со всеми частями речи. Слитно не со словами пишется, если бе не- слово не используется.
Имя прилагательное частный есть в нашем языке. Следовательно, вышеуказанное правило нам не поможет прояснить ситуацию.
Данное прилагательное с не нужно писать раздельно, если в предложении имеется/подразумевае�тся  противопоставление с противительным союзом а.
Перед нами пример не частного случая, а закономерности.
Наша фирма рассматривает вопрос о приобретении не частной территории, а земли, находящейся на данный момент в муниципальной собственности.
                                                                              

Прилагательное "частный" является относительным и, в отличие от качественного (имеющего полную и краткую формы, степени сравнения и т.д.), с частицей НЕ пишется всегда раздельно.
Примеры предложений:
Анализируя последние политические события, телеведущий высказывал не частное мнение, его слова отражали общую позицию коллег-однопартийцев."Это вам не частная лавочка, соблюдайте правила приёма пациентов!" - отчитал главврач молодого фельдшера.Данный акт вандализма в городском парке - к сожалению, не частный случай, поэтому следует усилить работу правоохранительных органов. По-вашему, не частные торговцы виноваты в захламлении остановки общественного транспорта?Ошибаетесь, гражданин, это не частное дело - вести себя распущенно на собственной даче!Исследователи обнаружили не частную переписку поэта, как они предполагали; то были черновики его ранних произведений. Разве не частная собственность способствует усилению неравенства среди людей?