Как пишется правильно: на гране или на грани?
Какое окончание, "е" или "и": на гране или на грани?
Какое правило?
Как запомнить?
На гране или на грани  – как правильно?
На гран(е,и)  – какое окончание?

Слово «грань» - имя существительное, женского рода, третьего склонения. Это, так называемое, существительное на мягкий согласный,  с нулевым окончанием.
Чтобы наглядно посмотреть падежные окончания, совсем не лишним будет привести таблицу склонения существительного «грань».
Предлог «на» - это предлог предложного и винительного падежа.  Как видно из таблицы, в этих падежах в единственном и множественном числе слово «грань» имеет окончание «И». Вопросы к слову (винительный падеж, множественное число) – на что? – «на грани». Вопрос к слову (предложный падеж, единственное число) – на чём? – «на грани».
То есть сочетание «на грани» всегда следует писать с окончанием «И» - «на грани».
Приведем примеры предложения»:
Какие животные находятся в нашей стране на грани исчезновения? (единств. число)Ряд стран оказались на грани разорения из-за коронавируса.( единств. число)Надо обратить внимание на грани этой пирамиды. (множеств. число)                                                                              

Определим к какой части речи относиться грань. Это существительное женского рода, которое отвечает на вопрос "что?" (неодуш). Так же оно оканчивается на мягкий знак после шипящей, а это говорит о том, что слово имеет отношение к третьему склонению. Обычно окончание существительных любого склонения в родительном, дательном и предложном падеже вызывают проблемы при написании.
Здесь есть правило, которое надо запомнить. Во всех из перечисленных падежей, существительные 3-его склонения будут иметь окончание -и. В данном случае слово "на гране" (о ком? о чем?), отвечает на вопросы предложного падежа. Поэтому в данном слове на окончании пишем "и". 

*Грань* - существительное 3-го склонения и в родительном, дательном, предложном падежах у существительного окончание И. Можно запомнить это слово, ассоциируя его с похожим по значению словом *гранИца*\ гранИчить\ огранИчивать.

Запомнить важно то, что прежде чем написать окончание имени существительного, надо определить , к какому склонению оно относится. Все существительные женского рода с -Ь на конце - 3-е склонение. А в третьем склонении -только окончание -и.  Можно вместо данного слова подставить слово с ударным окончанием. Например, рожь. На ржи,во ржи.Значит и на грани.

оба варианта правильные в зависимости от контекста
помимо слова «грань»
есть слово «гран» - единица аптекарского веса (0,062 грамм), применявшаяся до введения метрической системы
для слова грань - на грани
для слова гран - на гране