Как правильно писать Выл@зать через "Е" или через "И"? Возможны ли варианты?
Правило и примеры предложений

И вылЕзать , и вылИзать  будет правильно,если понимать, в каком контексте использовать эти слова. Предыдущий оратор,Listk�ov198�2�, все совершенно точно описал.
В зависимости от лексического значения слова будет использована та или иная орфограмма.
Если мы сомневаемся в использовании корневой гласной, значит,нужно применить правило:Как проверить безударную гласную ударением?
Допустим, дано задание:"В данном предложении найти слово с пропущенной гласной и вставить нужную букву".
Предложение.
Кот Потап никак не желал выл...зать из своего убежища.
Подбираем проверочное слово к глаголу выл..зать. Это будет глагол в неопределенной форме лЕзть.Или глагол в настоящем времени.Кот что делает?лЕзет!
Стало быть, ставим гласную Е.
Проверяем другое слово. ВылИзать.
На Камчатке мы наблюдали, как медведица вытащила из реки своих медвежат,поддала им хорошенько лапой, а потом принялась заботливо их выл..зывать. Но одного из них ей выл..зать не удалось,так как он резво убежал.
Медведица что делает? лИжет,вылИзы�вает,вЫлИзать.
Мы проверили ударением  сомнительные гласные и нашли верное решение.
                                                                              

Как и всегда в великом и могучем русском языке, варианты возможны. Данное слово в зависимости от контекста пишется как с Е, так и с И.
Вылезать - это означает выбираться откуда-нибудь. Например, "Мама крикнула мне: "Хватит купаться, вода холодная!" Пришлось вылезать.
А вылизать - это хорошо облизать что-нибудь с помощью языка. к примеру, "Кошке так понравилась еда, что она не только съела все мясо, но и вылизала миску"

Слова "вылезать" или "вылизать" -  произносятся одинаково, но пишутся по-разному и различаются по значению. Такие слова называются омофонами.
Оба слова -  глаголы-инфинитивы, отвечают на вопрос - что следать? Это разнокоренные слова, имеющие разное лексическое значение. В первом глаголе - корень "-лез-", во втором глаголе - "-лиз-".
Глагол "вылезать" (ударение на последнем слоге) - означает выходить, выбираться откуда-то.
Например, в предложении:
Сейчас Виктор будет вылезать из кожи, только чтобы доказать свою правду. Глагол "вылизать" (ударение на первом слоге) - означает слизывать что-то языком.
Например:
Даше очень понравилось клубничное мороженое, она готова вылизать тарелку.

Слова которые вы привели в вопросе, существуют оба в русском языке, но при этом они имеют просто разную семантику. Так в частности слово "вылезать", означает чаще всего что кто-то выбирается наружу, а вот слово "вылизать", означает уже очистку чего-либо при помощи лизания.

Правильно будет и "вылезать" и "вылизать", так как значение у этих слов разное, ориентируйтесь по смыслу предложения.
Если кто-то, откуда-то вылез, то пишем "вылезать", в смысле выбраться откуда-то.
Если что-то вылизывается, то пишем "вылизать".

Оба варианта написания слов совершенно верные, поскольку это разные слова с разным смыслом.
Если "вылезать", употребляется со смыслом покидать некое пространство.
Если "вылизать", употребляется со смыслом обдизать что-либо.