Как правильно: выгуленный или выгулянный?
Через "я" или через "е"?
ВыгулЯнный или выгулЕнный?
Как объяснить правописание?

Обращаем внимание на часть речи заданного слова, а затем применяем орфографическое правило.
Слово является причастием, страдательным прошедшего времени. Образуются такие причастия от основ неопределенной формы переходных глаголов любого вида (совершенного и несовершенного).
Производящим  для рассматриваемого причастия  является глагол "выгулять", удовлетворяющий приведенным выше признакам и оканчивающийся на "-ять".
И теперь с удовлетворением вспоминаем простое правило, утверждающее: если причастие образовано от глагола на "-ать (-ять)", то в причастиях перед суффиксом  "-нн-" пишутся буквы "а" или "я".
Например, набросать - набросанный, обстрелять - обстрелянный, рассеять - рассеянный.
Итак, правильно писать заданное слово так: **выгулянный".
Выгулянный пес с благодарностью смотрел на своего хозяина.
                                                                              

Слово "выгул(я/е)нный" является страдательным причастием и чтобы понять, как пишется "выгулЯнный" или "выгулЕнный" - обратимся к правилам русского языка.
Слово  "выгул(я/е)нный" образовано от глагола неопределенной формы "выгулЯть", заканчивающегося на "Ять" и это "Я" сохраняется перед "нн" в нашем причастии.
Пишем правильно: выгулЯнный.
ВыгулЯнные овцы и козы спокойно отдыхали на сене в теплом хлеву.