Как будет правильно: занемать или занимать?
Через Е или через И?
Занимать или занемать?
Как объяснить правописание?

Слово "зани(е?)мать" - это глагол несовершенного вида, отвечает на вопрос - что делать?
Вторая безударная гласная стоит в слабой позиции и  может вызывать сомнение в написании.
Разберем слово по морфемному составу: "заним-" - корень, "-а-" и "-ть" - суффиксы.
Нас будет интересовать корень слова - "заним-". Спорная гласная является корневой. Для ее проверки нам следует подобрать однокоренное слово, в которым бы эта гласная стала ударной. Для этого нам придется обратиться к этимологии. В русском языке существовало такое слово -  "имети". От него возник глагол - "иметь". С помощью приставки "за" образовался глагол  "заиметь", который трасформировался  в наш глагол "занимать".  Вот таким историческим экскурсом нам удалось подобрать родственное слово и объяснить гласную "и" в слове "занимать".
Итак,  правильное написание глагола - "занимать", с гласной "и" в корне.
Приведем примеры предложений:
Я не буду занимать деньги у своих родителей. Шкаф занимает слишком много пространства в твоей комнате.                                                                               

Помнится, это чередование Я с Им. Если в слове встречается (занЯть)"Я", то пишется с "Им" (занИМать). Ещё пример:  поднять-поднимать, унять-унимать. Это правило надо просто запомнить и применять при написании.