Дворняжка или дворняшка, тележка или телешка как писать?
Почему? Какое правило русского языка?

Правильно писать эти слова с буквой Ж. Ударение в слове "дворняжка" ставится на букву "Я", а в слове "тележка" на вторую букву "е".
Можно использовать проверочное слово: нет чего? - тележек; нет кого? - дворняжек.
Можно использовать уменьшительную форму для проверки: дворняжечка, тележечка.