Как правильно пишется: "внедрять" или "внидрять"?
Какое проверочное слово?
Какие правила написания?
Пример предложения.

Часть слов современного русского языка не поддаётся никакой проверке.
Обычно в таких случаях требуется либо запоминание, либо поиск этимологических следов.
Все формы глагола "внедрять", все производные от него (напр., внедрённый, внедряя, внедрение и др.) имеют в корне непроверяемый безударный гласный. Это значит, подобрать проверочное слово с ударным "е" нельзя.
Но можно покопаться в происхождении. Некогда этот глагол был образован от существительного "недро"/"недра" (=нутро, ядро) с помощью предлога  и суффикса.
Со временем семантика слов разошлась - они перестали быть лексически близкими.
Сравним, напр., такие предложения: Новейшие технологии необходимо как можно быстрее внедрять (=использовать, включать, применять) в производство/Богатые недра (=подземные места) нашей планеты не безграничны.
Изменился и морфемный состав: в глаголе не выделяется приставка, корнень - внедр-, в сущ-м другой корень - недр-/. Именно поэтому нельзя говорить о последнем как о проверочном.
Это грубейшая ошибка.
Слова "недра" и "внедрять" имеют общее происхождение, но разные корни, т.е. не являются однокоренными родственными.
См. этимологический словарь Г. Цыганенко:   
                                                                              

Для того, что б понять, как писать нам это слово, надо его изменить так, что б ударение падало на гласную, которая вызывает сомнения.
В данном случае проверочным словом будет однокоренное существительное "недра".
На всякий случай-
Слово "недра" пишется именно так, а не иначе, не "недры".
В любом случае мы проверили гласную, вызывающую сомнения и видим, что писать надо-
Внедрять, Внедрение, Внедриться.
Пример предложения.
Внедрение новых и эффективных  проектов способствует увеличению производительности труда.