Как правильно: нищинский или нищенский?
Как объяснить правописание?
НищЕнский или нищИнский?

Прежде определимся, в какой морфеме заданного слова находится сомнительный (безударный) гласный.
Понятно, что слово является прилагательным (таким бывает дом, урожай, обед, салат), потому что   признак предмета обозначает, отвечая на вопрос "какой?"
Так как прилагательное образовано от слова "нищий",  корень которого "нищ-" сохраняется и в однокоренном прилагательном, то безударный гласный расположен в суффиксе.
Вспоминаем правило, относящееся как раз к этому случаю:  в прилагательных, образованных от слов с основой на -ищ (кроме слов на -ищи ), пишется суффикс -ЕНСК-.   
Так что правильно написать – нищенский.
Некоторое время после возвращения Ивану пришлось вести нищенский образ жизни.
Нищенская обстановка в темной комнатушке угнетала, хотелось побыстрее уйти из дома.