Как правильно пишется слово "невзлюбив"?
Как правильно писать: "невзлюбив" или "не взлюбив"?

Деепричастие "не...взлюбив", как и причастие "невзлюбивший", относится словообразовательно и семантически к глаголу "невзлюбить". Своеобразием данного распространенного в языке глагола является то, что он не может в современной речи существовать без "не". Так, например, мы понимаем, что слово "взлюбить (не нужно путать со словом "возлюбить")" в языке отсутствует.
Поэтому слово "невзлюбив", несмотря на то, что оно относится к деепричастиям, пишется точно таким же способом, как и рассмотренный выше глагол - во всех случаях слитно.
Например:
"Екатерина, невзлюбив за что-то коллегу, ежедневно стала находить в ней недостатки".
"Злая мачеха, невзлюбив свою падчерицу, заставляла её выполнять самые трудные работы".
                                                                              

Слово "(не)взлюбив" морфологически относится к части речи - деепричастию совершенного вида, прошедшего времени. Оно  отвечает на вопрос - что сделав? и образовано от основы глагола-инфинитива "невзлюбить" ("невзлюби-")  с помощью формообразующего суффикса "-в".
Как известно, частица "не" с глаголами пишется раздельно, за исключением тех слов, которые без "не" не употребляются. Это как раз наш случай. Глагола "взлюбить" - не существует. Также не существует и деепричастия "взлюбив", от него образованного.
Поэтому деепричастие "невзлюбив", а также другие его формы: "невзлюбит", "невзлюбите", "невзлюбишь" будут писаться слитно с приставкой "не". 
Приведем пример предложения с этим деепричастием:
Татьяна,  невзлюбив соседку по площадке, перестала с ней здороваться.

Правописание слова "не(?)взлюбив", если разобраться, зависит от орфографии глагола "не(?)взлюбить", поскольку глаголы всегда всячески связаны с соответствующими деепричастиями.
Из-за отсутствия в русском языке глагола "взлюбить" как активной единицы, мы встречаемся в современности лишь с глаголом "невзлюбить", пишущимся всегда слитно. В принципе, то же самое мы можем говорить и о деепричастии "невзлюбив". Отделяя "не" от "взлюбив", мы допускаем серьёзнейшую ошибку. Поэтому "не взлюбив" (раздельно) никогда не пишут.
Например (правильный вариант в предложении):
"Старшая из сестёр, невзлюбив вдруг свою тётю, стала относиться к ней так, как относятся к чужому человеку".

Есть в современном русском  литературном языке глагол "невзлюбить", а вот глагола "взлюбить"  не существует, поэтому слово с отрицательной частицей "не" пишется слитно, "не"  является неотъемлемой частью этого глагола -- приставкой.
Образованное от него и отвечающее на вопрос "что делая?" слово является  деепричастием. Оно тоже пишется в одно слово по тому же основанию, что и сам глагол. Так что правильно написать так: невзлюбив.
Соседки, невзлюбив друг друга после  первой же встречи,  старались не появляться на кухне одновременно.
Невзлюбив  падчерицу,  злая старуха-мачеха всячески изводила её и заставляла выполнять самую тяжелую работу.