Как без ошибки написать слова: зажечься (зажечся), прилеч (прилечь)?
Где ставится мягкий знак?
Нужен ли мягкий знак?
Какое правило написания действует?

В русском языке есть части речи, на конце которых есть шипящие. Это имена существительные, прилагательные в краткой форме, местоимения, наречия, частицы, а также глаголы. Есть и  орфограмма о правописании мягкого знака после шипящих.
В данном случае заданы глаголы в неопределённой форме с шипящим "ч". 
По правилам после шипящих на конце всегда пишется  мягкий знак, поэтому правильно написать -- зажечь и прилечь.
А когда шипящий оказывается не на самом конце глагола, а перед постфиксом "ся", правило остается неизменным, он остается после шипящей и в этом случае, то есть пишется зажечься.
Дровишки были сыроваты, поэтому никак не могли зажечься.
А так хотелось побыстрее согреться и прилечь.
                                                                              

"Зажечся" не пишется. Это ошибка. А пишется только "зажечься". Перед буквой "с" нужен мягкий знак, поскольку есть глагол "зажечь", который в своей неопределённой форме заканчивается на "ч", после которой самой последней буквой обязательно должен быть "ь". Если мы присоединим постфикс "-ся", то орфография глагола (теперь уже "зажечься") останется прежней.
"Прилеч" не пишется. Если так написать, то образуется грубая ошибка. Глагол "прилечь" (теперь перед нами правильный вариант) подчиняется точно такому же правилу, которое уже было описано в первом абзаце. После "ч" в инфинитиве необходим грамматический мягкий знак, подтверждающий данную форму.