К какой части речи относится слово "крайне"?
Привести примеры предложений.

Это слово - производное от имени прилагательного "крайний" (какой?).
Оно образовано путём присоединения к основе "крайн-" суффикса "-е-".
Лексическое значение равно значению наречий "весьма", "очень".
Да и само слово является наречием меры или степени.
Примеры употребления: крайне признателен/... обеспокоен/... доволен/... недоволен и т.п.
                                                                              

"Крайне" - это наречие образа действия, самостоятельная неизменяемая часть речи.  Отвечает на вопрос - как? или каким образом? Производящее слово - прилагательное "крайний".
Наречие  образуется от основы прилагательного - "крайн-" и суффикса "-е". Значение его - "очень", "весьма", "слишком", "в высшей степени".
Приведем примеры предложений с наречием "крайне":
Я вообще крайне не доверяю такому способу оплаты товара. Хозяйка была крайне удивлена приездом гостей в такое неподходящее время. Я крайне заинтересован в вашем участии на собрании всех собственноков кооператива. Мне крайне редко так везет, - это просто уникальный случай.