Какой частью речи является слова: рад, не рад, рады?

Слово "рад" имеет значение состояния предмета, то есть обозначает признак. Оно является краткой формой мужского рода числа единственного прилагательного, которое не имеет полной формы, как и краткие имена прилагательные "должен", "надобен".
Во-первых, такие прилагательные изменяются по родам и числам (мальчик рад, девочка рада, дитя радо, все рады).
Во-вторых, с отрицательной частицей "не" пишется всегда раздельно.
В-третьих, в предложениях выступает в роли сказуемого.
Примеры предложений с этими прилагательными.
Мне очень нравится известная мудрая пословица "На чужой сторонушке рад своей воронушке".
А вот другая интересная: "Тот дурак, кто пирогу не рад".
Я рада помочь любому, будем надеяться, что  здесь все рады помочь друг другу.
                                                                              

Какой частью речи являются слова рад, не рад, рады, определим, выяснив значение и грамматические признаки в предложении.
Он рад нашему приходу.
Он (каков?) рад.
Слово "рад" обозначает признак предмета. Но в предложении оно выступает в роли сказуемого подобно глаголу, то есть обозначает состояние радости. Это слово можно принять за глагол, но все же это другая самостоятельная часть речи.
Это краткая форма прилагательного, которое в современном языке утратило полную форму "радый".
Слово "рад" и его формы "не рад", "рада", "рады" - это имя прилагательное.
Примеры
Я рад твоему признанию.
Девушка рада подарку.
Мы рады приветствовать вас здесь.
Я совсем не рад этому известию.

Насколько кто-то рад или не очень рад чему-то, в общем случае, не будет влиять на то, какой частью речи это слово может являться. Но, в общем случае, оно чаще всего может быть кратким именем прилагательным (кстати говоря, полной формы прилагательного в этом случае не будет), а в некоторых случаях и именем существительным, восходящим к слову "рада" (оглянитесь на Украину).
Так что в зависимости от употребления это слово будет: краткое имя прилагательное или имя существительное.
Примеры.
Он был рад каждому встречному.
Никто не рад незваному гостю.
Все были рады, что вернулись домой.
Был подготовлен регламент для рад разного уровня.
На заседании рады было принято важное решение.