" Резиновая попа" - есть ли, было  такое выражение в русском языке или это ноу-хау, т.с.неологизм Путина ? Может быть, есть аналогичные выражения, вроде "каменная попа", а Путин просто перепутал?

Вопрос задан не в категории "Для взрослых". Поэтому не буду предполагать, что есть торговые точки особого рода, где спросившего "резиновую попу" поймут, предложат некий ассортимент, все объяснят, а может быть даже покажут принцип действия.
Для категории "Образования" нужно лишь зафиксировать, что у не слишком известной московской панк-группы "Distemper" в 1993 появился альбом "Ой Ду-Ду!". Вторая песня на нем так и называется "Резиновая попа". Правда панки они грубые, поэтому вместо слова "попа" они говорят менее пристойное слово на букву ж. Так вот эта самая резиновая упоминается в этой песне в первом куплете и припеве. Цитировать я не буду, потому что это категория "Образование". Может быть президент РФ знаком  с творчеством группы, и именно оттуда позаимствовал это устойчивое выражение. Но это только гипотеза.
                                                                              

" Резиновая попа" - это выражение довольно быстро облетело по всему интернету. По мне так это намёк, что в Америке поощряют секс меньшинства. И открытым текстом сказано о товаре из секс шопа. По мне конечно выражение хоть и резко звучит, но оно довольно правдивое и говорит само за себя. Если Америка с этим живёт (геями) нормально, то нам в России такого добра не надо.

Возможно, и неологизм. Раньше я такое выражение не слышала, но это, конечно, не доказывает, что такого никто не говорил и не слышал ничего подобного.
Да, есть разные интерпретации - каменная, квадратная. Когда говорят о человеке сверхусидчивом, старательном, терпеливом и настойчивом. Но с оттенком негатива, естественно. Подразумевая, что особых талантов-то нет, но вот упорство - оно есть, и дает свои плоды. Возможно, они не такие сладкие, как у людей, способных на многое и без чрезмерной усидчивости. Но вполне съедобные.
Я знала таких людей - они могли использовать зубрежку, например, в учебе. И это тоже срабатывало. В жизни они достигли определенных результатов, за которые не стыдно.

Само по себе выражение "резиновая попа" существует давно, это название одного из товаров в секс-шопах.
Но никто никогда не применял его для диалогов с детьми из первого класса и тем более, в связке со словом "трудолюбие". Бедные родители первоклашек, представляю, как им потом пришлось выкручиваться с объяснениями что такое резиновая попа и как это связано с успехами и трудолюбием.
Читатели закрытых телеграмм каналов, знают, однако, о чем шла речь.

Возможно это московский неологизм, вполне себе возможный для стен МОЛГМИ, который сейчас РНИМУ или для стен школы №101, пестовавшей солдат советских спецслужб. И вот оно проявилось как отголосок обучения. Про квадратную каждый слышал, а вот резиновая может употреблялась со второй частью, которая могла отлететь в процессе употребления напр. пустая голова - резиновая попа, смысл в принципе не поменялся: пустую голову может спасти только зубрежка, для этого нужна каменная или резиновая попа. Причем заучивать большого ума не надо, а вот упорство необходимо. Фразу-то все поняли правильно, что значит богатство русского языка в национальном менталитете.

Речь шла о трудолюбии.
Каким может быть трудолюбие, с чем его сравнить?
Трудолюбие может быть усердным, наследственным, большим, сильным, примерным.
Сравнить можно трудолюбивого человека с пчелкой. Говорят, что человек трудится как пчелка.
А резиновая попа - это оговорка по Фрейду, неконтролируемый всплеск остроумия в привычной лексике.
Если бы привычной была лексика - "трудиться как пчелка", то это бы и выскочило.
Такого выражения не было и нет, надеюсь, школьники его не запомнят.

Первая ассоциация при словах «резиновая попа» - это интимный товар, и зачем это говорить при детях, они не так поймут. Думаю, кто не так подумал, уже переключился на тот смысл, который вкладывал в эти слова президент Путин. Я никогда раньше не слышала выражение «резиновая попа» касательно усидчивости. Но при долгом сидении реально попа болит, особенно у худых людей, поэтому  для сидения больше подходит большая,  жирная,  упругая, как бы резиновая попа, так что призывая школьников хорошо учиться, то есть много сидеть за уроками, это сравнение президента оказалось довольно метким. Мне кажется, что Путин сам это придумал, ведь он  в молодости был стройным, много учился, а работа его  преимущественно сидячая, поэтому при долгом сидении он мог мечтать о резиновой попе в дополнение к горячему сердцу и холодной голове с хорошими мозгами.

Как же мне нравятся фразеологизмы нашего президента.
Как он пошутит, так не в бровь, а в глаз.
Насчёт того, что он сказал, что трудолюбие-это не резиновая попа, такого выражения не было.
Эти он придумал.
Конечно, про резиновую попу были разные выражения, но в таком ключе эту фразу никто пока не применял.

Выражение такое есть, но оно не шибко устойчивое про успех учебы в резиновой / каменной заднице, т.е. нужно карпеть, учить, весь день просиживая на пятой точке.  советское время было достаточно употребимым

Резиновая попа - это реальная игрушка, которую можно купить в соответствующем магазине. Я не знаю, что он имел ввиду. Если имел ввиду, что попу надо использовать для того, чтобы сидеть, то стоило бы использовать другой материал, более твертый и износостойкий. Возможно, он хотел сделать аллюзию на Америку, где Байден всячески поощряет геев, и студентам даже кредиты за это списали.