С дефисом или пробелом. Как правильно пишется по кенгуриному?

От существительного "кенгуру" легко образуется  имя прилагательное "кенгуриный", которое при сочетании с именем существительным (кенгуриный воротник, кенгуриный мешок, кенгуриный прыжок) употребляется в различных падежных формах, с разными предлогами,  в том числе и с дательным падежом с предлогом "по".
Например.
По кенгуриному вольеру прогуливалась мама-кенгуру, в сумке которой сидел детеныш.
В первом словосочетании между предлогом и прилагательным можно  вставить и другое определение (по большому, по просторному) или переставить местами это прилагательное с определяемым существительным (по вольеру кенгуриному), что  не нарушит ни смысла, ни формы всего предложения.
Это есть свидетельство  того, что такое сочетание пишется раздельно.
От прилагательного "кенгуриный" можно образовать  и другую часть речи, совпадающую с формой прилагательного в падеже дательном  и переходом предлога "по" в приставку. Получится уже новое слово, отвечающее на вопрос "как? каким образом?" Это будет наречие.
И пишется оно по правилам орфографии русского языка через дефис -- по-кенгуриному.
В этом образовании между приставкой и прилагательным невозможно вставить дополнительно  слово.
Например.
Мальчик прыгал по раскаленному песку совсем по-кенгуриному.
                                                                              

С дефисом и только с дефисом!
По правилам русского языка, все сочетания частицы "по" и прилагательных или местоимений, оканчивающихся на "-ому", "-ему", "-ски", "-цки", "-чьи", пишутся через дефис: по-русски, по-новому, по-кенгуриному, по-птичьи.
Отмазка: это работает только если всё словосочетание выступает в грамматической роли обстоятельства (отвечает на вопрос "как" или аналогичный), то есть представляет собой этакое сложное наречие. Если после прилагательного следует существительное, для которого оно является определением, то дефиса нет, а ставится пробел: по новому плану, по кенгуриному следу.

Написание этой словоформы раздельно или с дефисом определяется контекстом.
Раздельное написание в случае, если речь идёт о притяжательном прилагательном, относящемся к существительному с предлогом, напр., По (чьему?) кенгуриному прыжку можно судить о силе животного.
Дефисное написание имеет место, если перед нами наречие образа действия, напр., Прыгать (как?) по-кенгуриному. Это наречие образовано от прил-го "кенгуриный" при помощи приставки по- и суффикса -ому. Подобные примеры наречий: по-звериному, по-мышиному.

По идее с пробелом
Дефис в наречиях понадобится и тогда, когда они образованы путём повторения слова или основы, а также в результате сочетания двух синонимичных или сходных по значению понятий