Как это решить Как правильно пишется: "ничтожество" или "нечтожество"? Почему?.

Правильно писать это имя существительное с гласной "и" в первом слоге -- ничтожество.
Она безударная здесь, проверить ни с помощью изменения форм слова, ни с помощью однокоренных слов (ничтожный, уничтожать) не представляется  возможным. Следует обращаться  только к словарям орфографическим, обращать внимание на правописание  всех этих однокоренных слов в художественной литературе, что поможет запомнить эти словарные слова.
Можно обратиться и к этимологии. Существительное "ничтожество" есть производное от старославянского прилагательного "ничтожный", которое образовалось  слиянием слов  "ничто"  и "же", а затем при помощи суффикса "ств-" и существительное.
Спутник оказался  жалким трусом, полнейшим ничтожеством, так как не смог защитить женщину от хулиганов.

ничтожество , существительное, неодушевленное, Приставка: ни-; корень: -что-; суффиксы: -ж-еств; окончание: -о, ничего не представляет из себя.