Как пишется правильно: "не бабушкино" или "небабушкино"?
Как пишется "не" со словом "бабушкино"?
Какая это часть речи?
Какие правила?

Сначала стоит разобраться, к какой части речи принадлежит заданное слово.  Очевидно, что  оно образовано от имени существительного "бабушка", обозначает принадлежность человеку названному. И образовано при помощи суффикса "-ин-". По всем этим признакам слово является притяжательным прилагательным.
Принадлежность к такой категории прилагательных дает основание сослаться на правило правописания этого слова с отрицательной частицей "не", которое есть в русском языке, а именно:  с притяжательными именами прилагательными частица "не" пишется раздельно.
Это не  бабушкино лукошко, у нее оно побольше.
На столе лежала не бабушкина книга.
Вот несколько  других примеров на это правило: не папины тапочки, не братов почерк, не лисий хвост.