Какой частью речи является слово "дорого"?
Примеры предложений.

Сначала нужно убедиться в том, что в предложении действительно должно быть написано слово "дорого", но не "дорога", например. Это довольно важно.
После этого мы ещё раз смотрим на всё высказывание и при достаточном опыте сразу же задаём к слову "дорого" вопрос. Но не просто вопрос, а от того слова, от которого форма "дорого" зависит по смыслу, зависит синтаксически.
Например:
Обошлось (как?) дорого. Наречие. Стоит (сколько?) дорого. Наречие. Платье (каково?) дорого. Прилагательное. Оно краткое.Общий принцип определения части речи слова "дорого" уже ясен. Всё зависит от вопроса, на который оно отвечает.
На рисунке это видно:
А теперь примеры предложений:
"Всё это Николаю обошлось слишком уж дорого". Наречие. "Время очень дорого, друзья!" Кратк. форма прилагательного.Говорят также в соответствующих случаях о слове "дорого" как о предикативе.
                                                                              

Слово "дорого" - это наречие, неизменяемая часть речи, отвечает на вопрос как? В предложении наречие "дорого" пояснеет сказуемое.
Слово, от которого образовано наречие   - полное прилагательное - какой? - "дорогой".
Примеры предложений с наречием "дорого":
Для меня слишком дорого покупать сапоги за такую цену. Я дорого плачу за коммунальные услуги.  Также слово "дорого" может быть кратким прилагательным, среднего рода, отвечающим на вопрос - каково? Оно образовано от того же полного прилагательного "дорогой".
Например:
Твое внимание для меня очень дорого. Это платье очень дорого, но оно стоит таких денег.

Слово «дорого» имеет 2 разных морфологических разбора. Вариант разбора зависит от того, в  каком словосочетании или предложении слово находится.
Разбор 1:
Часть речи: наречие, начальная форма: дорого, в предложении является обстоятельством.
Разбор 2:
Часть речи: прилагательное, начальная форма: дорогой, ед.ч., ср.р., к.ф., является определением