Помогите решить Почему выделяют именно родительный падеж множественного числа?.

Ответ может быть довольно лаконичным: потому что существительные множественного числа имеют большой разброс окончаний - иначе, вариантивность окончаний. Все существительные с платформы образования родительного падежа множественного числа  делятся на три группы, например:
Р. п. мн. ч. с окончанием -ОВ = очки-очков.Р.п.  имеющие  окончание -ЕЙ(-ий) = увечья - увечий...Р.п. имеющие нулевое окончание = туркмены - туркмен_ и туркменов, макароны макарон, пять килограммов апельсинов, помидор_, абрикосов...
Именно поэтому к Род. п. такое пристальное внимание.