Как правильно писать слово?
С буквой И или Ь?

В русском языке у многих существительных присутствуют вариантные формы на -ие и на -ье.
Например: молчанИе - молчанЬе, проклятИе - проклятЬе и тому подобное.
Зачастую формы на -ие общеупотребительные и стилистически нейтральны, а на -ье встречаются в разговорной и поэтической речи.
Например: пенИе - вариант общеупотребительный, а пенЬе - устаревший, встречается в поэтических текстах.
Бывает и наоборот: счастЬе - современный вариант, а счастИе - устаревший, встречается в художественных текстах.
Восхищен_е - оно мое? - средний род, 2-е склонение.
Слово образовалось от глагола "восхищать", происхождение которого в свою очередь восходит к праславянскому "chytiti".
Восхищать означает приводить кого-то в восторг, доставлять высшую степень удовольствия.
В нашем случае слово образовано суффиксальным способом: восхищ (корень) + ени (суффикс) + е (окончание).
Суффикс -ени- обозначает действие: восхищение означает ощущение сильнейшей радости или проявление такой радости.
Как видите правильный вариант: восхищенИе. Форма -Ье в словарях не значится.
                                                                              

В русском языке у многих слов среднего рода есть варианты на -ие и -ье: спасение - спасенье, проклятие - проклятье, рождение - рожденье, признание - признанье, молчание - молчанье, возвращение - возвращенье и т.д. Из них первые часто являются общеупотребительными и стилистически нейтральными, а вторые характерны для разговорной и поэтической речи. Например,
в стихотворении Е. Долматовского есть такие строки:
Может быть и наоборот: счастье (общеупотр.) - счастие (устар., поэт.)
Также вопрос вызывает то, как писать эти слова в предложном падеже. Слова на -ье имеют такие же окончания, как и слова второго склонения: говорить о столе - о рожденье. Слова на -ие имеют особое окончание в предложном падеже (как и остальные слова на -ие): о рожденье, но о рождениИ.
Опять же, в поэтической речи допускается окончание -и для слов на -ье:
(А.С. Пушкин)

На одном из сайтов нашла подобный вопрос и вот такой ответ, который цитирую:
Посмотрим как употребляются эти слова в литературе: в стихах Ефима Хазанова мы видим употребление слова восхищенье, приведем эти строки:
Книга Б.Р. Мандель называется "Загадки, тайны, память, восхищение..."
Но чаще все-таки мы встретим слово восхищение.
" Восхищение им этой женщиной было абсолютно искренним."