Как решить По чуть-чуть - какая часть речи? Как правильно писать? Какое правило?.

Для того, чтобы определить какой частью речи является « по чуть-чуть», нужно понять, на какой вопрос он отвечает. Возьмём для примера предложение  «Он добавлял по чуть-чуть коньяка себе в чай» и зададим вопрос: добавлял как ? по чуть-чуть. На вопрос как ? отвечает часть речи наречие. Следовательно, «чуть-чуть» это наречие, причём сложное наречие, образованное повторением того же слова, а «по» является предлогом. 
Правильное написание «чуть-чуть» через дефис по правилу написания повторяющихся слов.  По правилу русского языка, предлог с наречием пишется раздельно, поэтому в «по чуть-чуть» «по» и «чуть-чуть» пишутся раздельно.