Как правильно: завянит или завянет?
Какое окончание "ет" или "ит"?
ЗавянЕт или завянИт?
Как объяснить правописание?

               Здравствуйте.
Правильно будет написать " завянЕТ ".
Объясню.
Первое, что нам необходимо сделать, чтобы выяснить безударное окончание глагола, это определить его спряжение, переведя глагол в неопределенную форму. У глаголов в русском языке существует всего два спряжения, соответственно первое и второе. Инфинитив глагола " завянет " - вянуть. И, так как есть правило, что:
К I спряжению относятся все глаголы, оканчивающиеся на -АТЬ, -ЯТЬ, -ЕТЬ, -УТЬ, -ОТЬ, за исключением глаголов БРИТЬ, СТЕЛИТЬ, ЗИЖДИТЬСЯ,
то наш глагол ВЯНУТЬ определённо является глаголом I спряжения. А это значит, что если мы начнём его спрягать, т. е. изменять по лицам и числам, то в 3 лице единственного числа правильно будет написать окончание завянЕТ.
Ко II спряжению относятся все глаголы на -ИТЬ, а также глаголы-исключения. Их очень легко запомнить в форме небольшого стишка:
Гнать, Держать, Дышать, Зависеть,
Видеть, Слышать, Ненавидеть,
Ну и чтобы не Обидеть, 
Пригласим Терпеть, Вертеть,
Ненавидеть и Смотреть.
При спряжении этих глаголов в окончании пишется буква И.

               Правильный вариант - "завянет". Глагол "завянуть" относится к словам с чередованием гласных в корне. В данном случае корень "вя" имеет значение "быть вялым, безжизненным", поэтому в настоящем времени происходит изменение корневой гласной с "я" на "е".
Примеры предложений:
Цветок завянет, если его не поливать регулярно.
От жары трава на лугу завяла и пожелтела.
После заморозков клубника на грядке завяла.

               Нужно определить спряжение. Для этого нужно поставить в начальную форму. Если оканчивается на -ить (2спр), то пишем ит, если -ать, -еть, -оть, -ёть, -уть, -ять, -ють (1спр), то пишем ет. Следовательно здесь пишем через Е (завянЕт)