Основание пирамиды SABC – прямоугольный треугольник АВС с прямым углом при вершине С. Высота пирамиды проходит через точку В. Грани АВС и АВS равновелики. На ребрах ВS, AS и СА отмечены точки К, L и М соответственно, так, что SK:KB=1:2, SL:LA=1:2, CM:MA=1:2.
a) Докажите, что плоскость KLM наклонена к плоскости основанияпирамиды под углом 45°.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью KLM, если площадь грани АВS равна 9.

Строим чертежик согласно условию.
Достроим сечение. Так как К и L делят стороны ∆SAB в одинаковых пропорциях 1:2, то KL || AB => AB || (KLM). Тогда MN || AB || KL и MN ∈ (KLM) - плоскости сечения
Так как MN || AB в ∆ABC, то точка N на стороне CB разделит CN : NB = 1 : 2
В результате получим NK || CS || ML и плоскость сечения (MNKL) - параллелограмм
Доказываем a)
1) Проведем высоту CH в ∆АВС. Так как ∆ABC равновелик ∆ABS, то их площади равны
S(∆АВС) = AB•CH/2
S(∆АВS) = AB•SB/2
Из равенства левых частей получаем CH = SB
Проведем из точки H: НF ⟂ AB до пересечения прямой KL
Получим HF || KB, тогда KFBH - прямоугольник и FH = KB = (2/3)SB
2) С другой стороны СН делится при пересечении прямой MN в точке E  так же в отношении CE : EH = 1 : 2
Тогда EH = (2/3)CH
В результате получаем FH = EH и тогда ∆EFH - равнобедренный
3) Плоскость (FHE) ⟂ AB, так AB перпендикулярна двум прямым ЕН и HF этой плоскости
Тогда плоскость (FHE) ⟂ MN
Получаем, что NM линия пересечения плоскостей (KLMN) и (ABC), HE ⟂ MN и FE ⟂ MN
То есть ∠FEH -  и есть угол между плоскостями сечения и основания
4) По условию SB ⟂ (ABC), тогда FH ⟂ (ABC) и значит FH ⟂ НЕ
Тогда ∆FHE - прямоугольный (и помним что равнобедренный) => ∠FEH = 45°
ч.т.д.
Решаем б)
1) Помним, что сечение NKLM - параллелограмм и FE ⟂ KL, значит FE - высота параллелограмма
S = KL • FE
2) из ∆FEH: FE = FH√2
Тогда S = KL•FH•√2
3) из подобия ∆ABS и ∆LKS: KL : AB = 1 : 3 И AB = 3KL
4) Аналогично FH : SB = 2 : 3 И SB = 3FH/2
5) S(ABS) = AB•SB/2 = 9
Или 3KL • 3FH/4 = 9
KL • FH = 4
6) Получаем S = 4•√2
Ответ: S = 4√2