Известно, что x/(y+1)+y/(x+1)=1. Найдите значение выражения x/y+y/x-1/xy.
Если ответ не единственный, то в ответе запишите сумму всех возможных
значений выражения.

x/(y + 1) + y/(x + 1) = 1. Сначала избавлюсь от знаменателя (y + 1)*(x + 1):
х*(x + 1) + у*(у + 1) = (y + 1)*(x + 1). Раскрою скобки:
х^2 + х + у^2 + у = ух + у + х + 1. Одинаковые значения вычитаются:
х^2 + у^2 - ху = 1.
х^2 + у^2 - ху - 1 = 0.
Выражение равно к примеру "А":
x/y + y/x - 1/xy = А
(х^2 + у^2 - 1)/ху = А.
Вероятно, х = у = 1, потому что:
х1 + х2 = у.
х1*х2 = у^2.
Проверка:
Подставлю 1 вместо "х и у":
х^2 + у^2 - ху - 1 = 0.
1 + 1 - 1 - 1 = 0.
0 = 0. И в выражение:
(х^2 + у^2 - 1)/ху = А.
(1 + 1 - 1)/1 = А.
А = 1.
Мой ответ: х = у = 1. Выражение тоже равно 1.

Приведём к общему знаменателю первое выражение
x^2 + x + y^2 + y = xy + x + y + 1
или
x^2 + y^2 - xy = 1
Пусть у нас y=kx, тогда выражение перепишется так
x^2(1 + k^2 - k) = 1
И мы можем x^2 выразить через k
x^2 = 1/(1 + k^2 - k)
Во стором выражении, значение которого надо найти, также заменим y на kx
x/kx + kx/x - 1/kx^2
Сокращаем, что можно, получаем
1/k + k - 1/kx^2
Подставляем сюда х^2 выраженный через k
1/k + k - (1 + k^2 - k)/k = 1/k + k - 1/k - k + k/k = 1
Значение выражения, которое требовалось найти равно единице.