Две старушки вышли одновременно навстречу друг другу из двух городов. Они встретились в полдень и достигли каждая чужого города: первая - в 4 ч пополудни, а вторая - в 9 ч. Узнайте, когда они вышли из своих городов.

Допустим встретились старушки через Х часов.
Тогда на весь путь первая старушка затратила ( Х + 4 ) часа, а вторая старушка - ( Х + 9 ).
Скорость движения первой старушки 1/( Х + 4 ), скорость движения второй старушки 1/( Х + 9 ),
скорость сближения старушек 1/Х, а значит можно составить уравнение:
1/( Х + 4 ) + 1/( Х + 9 ) = 1/Х
1/( Х + 4 ) + 1/( Х + 9 ) - 1/Х = 0 ( приведём дроби к общему знаменателю Х( Х + 4 )( Х + 9 ) )
[ Х( Х + 9 ) + Х( Х + 4 ) - ( Х + 4 )( Х + 9 ) ] / [ Х( Х + 4 )( Х + 9 ) ] = 0 ( дробь равна нулю, если числитель равен  нулю )
Х( Х + 9 ) + Х( Х + 4 ) - ( Х + 4 )( Х + 9 ) = 0
Х² + 9Х + Х² + 4Х - Х² - 4Х - 9Х - 36 = 0
Х² - 36 = 0
Х² = 36
Х = 6 часов шли старушки до встречи друг с другом( отрицательный корень можно отбросить: -6 часов это уже из области фантастики )
Так как встретились старушки в полдень, то вышли они на тропу ходьбы в 12 - 6 = 6 часов утра.
                                                                              

Принимаю скорость первой старушки за "п", а второй старушки за "в". Расстояние за 1. Время до встречи у них одинаковое. Принимаю это время за "т"
Составляю уравнения:
п = 1.
в = (9/4)^(1/2) = 1,5. Скорость второй старушки в 1,5 раза выше скорости первой старушки.
То есть если время 1 старушки разделить на 1,5 получится:
9/1,5 = 6 часов.   
А если время 2 старушки умножить на 1,5 получится:
4*1,5 = 6 часов.   
Проверка.
Выбираю скорость 1-й старушки 2 км/час. А скорость второй старушки 2*1,5 - 3 км час. Они вышли из городов в 12 - 6 = 6 часов утра.
До точки встречи первая прошла 6*2 = 12 км.
До точки встречи вторая прошла 6*3 = 18 км.
Всё расстояние 12 + 18 = 30 км.
До города первая прошла 9*2 = 18 км. Сходится.
До другого города вторая  прошла 4*3 = 12 км. Сходится.
Проверка прошла успешно!
Первая старушка провела в пути 6 + 9 = 15 часов, а вторая старушка 6 + 4 = 10 часов.
Резюме: в 6 утра старушки вышли из своих городов.

Ясно, что одна старушка шла быстрее другой старушки.
Вот схема их движения (без масштаба):
А-----М----В
Быстрая старушка вышла из города А, а медленная старушка, соответственно, вышла из города В.
В полдень они встретились в некой точке М, при этом АМ > МВ.
Если быстрая старушка расстояние МВ прошла за 4 часа, то расстояние АМ она прошла медленнее, чем за 4 часа.
Если медленная старушка прошла расстояние МА за 9 часов, то расстояние ВМ она прошла быстрее, чем за 9 часов.
Выходит так, что до своей встречи они шли какое время, большее, чем 4 часа, но меньшее, чем 9 часов.
Предполагать, что скорость одной старушки больше, чем скорость другой в два раза как-то непрактично. Давайте предположим, что пока в полтора раза. Нужно проверить этот допуск.
Тогда схема будет выглядеть так (уже в масштабе):
А------М----В
При этом 1.5 * АМ = МВ, как видно, один участок "-" соответствует часу ходьбы быстрой старушки, ибо МВ как раз равняется 4-м часам её хода. Тогда до встречи она шла ровно 6 часов.
Проверим это для медленной старушки. Поскольку она идёт в полтора раза медленнее, то участок "-" она проходит за 1.5 часа. Как видно, что МА она пройдёт за 9 часов (что соответствует условию задачи), а БМ пройдёт за 6 часов, что совпадает с предыдущим расчётом для быстрой старушки.
Наш допуск сработал, дав правильный ответ. Старушки до встречи шли 6 часов, следовательно, вышли из своих городов в 6 утра.