Помогите решить Имеет ли плоский угол размерность и если да, то какую?.

В системе СИ углы - и плоские, и телесные - считаются безразмерными величинами. Безразмерность и отсутствие единиц измерения - это разные вещи. Безразмерность означает лишь то, что данная физическая величина выражается через отношение двух других величин, размерность которых одинакова. Например, это длина дуги и радиус. Или площадь участка сферы и квадрат радиуса (для телесного угла). Более того, одинаковая размерность, даже когда она есть, вовсе не означает тождественности физическх величин. Чему примерно работа и крутящий момент (в системе СИ обе имеют рамерность ньютон*метр).
Ну а "единицы измерения" углов - это уже отдельная статья. Ведь и обычные числа - хоть "раз-два-три", хоть пи или, там, корень из 2, - величины безразмерные, но ИЗМЕРЯЕМЫЕ, и поэтому выражаемые в определённых единицах. Собсно, единицей числа и является единица (число 1). Ровно так же единицей угла тоже является число 1. Это такой угол, для которого длина дуги равна радиусу окружности. Аналогично и для телесного (площадь участка равна квадрату радиуса).
                                                                              

Естественно имеет. Всё, что можно измерить и сравнить по величине, имеет размерность. Если какая-то величина не имеет размерности. а ее нужно измерять, то размерность просто назначают. Для углов было так:
1) Взяли полный угол, разделили его на 360 частей, одну часть назвали градусом, так появилась единица измерения - градус.
2) Взяли полный угол, разделили его на 4 части, каждую часть назвали "прямым углом". Затем прямой угол разделили на 100 частей, 1 часть назвали градом ("град", не путать с градусом, градус - 1/360 часть полного угла, град - 1/400 часть полного угла.
3) Если в окружности провести два радиуса, то они разделят окружность на две дуги, а полный угол на 2 угла. Для дуг и углов приняты одинаковые размерности. Но у дуги можно измерить и длину. Так вот, если за ЕДИНИЦУ измерения принять РАДИУС окружности, то длина дуги выразится каким-то числом. Так вот, величину, получающуюся когда длина дуги равна радиусу окружности, то такую величину называют радианом. Соответственно, и углы можно измерять тоже в радианах.
Отметим, что полный угол равен 2*Пи радианам, развернутый угол Пи радианам, прямой угол Пи/2 радианам.
Отсюда соотношения между различными единицами измерения: (Пи радиан)=(180 градусов)=(200 градов).

Если угол плоский, то есть лежит в плоскости, значит он имеет размерность плоскости (2). И действительно если угол определяет точка на единичной окружности то она имеет координаты (sin, cos). Если измерять угол через хорду то опять же угол определяется через расстояние между двумя точками. Ну и конечно координаты трех точек (треугольник) дадут три угла. Да можно построить угол в трехмерной модели, но две пересекающиеся прямые всегда находятся в одной плоскости. Как не крути, а размерность всегда остается равной двум.