На БВ есть похожий вопрос.
Но там речь идет лишь о последовательных нечетных числах. Между тем, разность квадратов любых нечетных чисел делится на 8. Например, 7^2 - 3^2 = 49 - 9 = 40 = 5*8 . Вопрос, как это доказать в общем случае.

Как уже предлагалось, рассмотрим разность квадратов чисел 2n+1 и 2m+1. Преобразуя ((2n+1)-(2m+1))*((2n�+1)-(2m+1)), получим 4*(n(n+1)-m(m+1)). То есть разность точно кратна четырём. А если рассмотреть содержимое скобок, то
совершенно очевидно, что произведения n(n+1) и m(m+1) - кратные двум числа, а значит, и их разность кратна двум. 2*4=8, всё.
                                                                              

В общем виде любое нечётное число можно записать в виде (2х+1), другое нечётное число записать в виде (2у+1). Тогда разность их квадратов (2х+1)^2-(2у+1)^2, распишем в виде [(2х+1)+(2у+1)]*[(2х�+1)-(2у+1)]. Производим очевидные преобразования:
[(2х+1)+(2у+1)]*[(2х�+1)-(2у+1)]=(2х+2у+2)�*(2х-2у)=4*(х+у+1)*(х�-у). Чтобы разность (2х+1)^2-(2у+1)^2 делилась на 8, достаточно, чтобы одно из чисел (х+у+1) или (х-у) было чётным.
Если х и у - одинаковой чётности (или оба чётные, или оба нечётные), то их разность - чётная.
Если х и у - разной чётности (одно из них чётное,а другое - нечётное, то их сумма - нечётная, а число (х+у+1) - чётное. Таким образом, теорема доказана.

Для общего доказательства нужно уйти в абстракцию, то бишь в алгебру. Вобщем виде любое нечетное число можно записать как (2n + 1). Другое нечетное число очевидно будет (2n + 3). Разность квадратов этих чисел по алгебраическому преобразованию есть произведение их суммы на их разность.
Поэтому имеем (2n + 1 + 2n + 3) * (2n + 1 - 2n - 3). После упрощения этого выражения получаем (4n + 4) * (-2) или еще проще (-2) * 4 * (n + 1),или совсем просто: (-8) * (n + 1). А из этого последнего выражения уже явно просматривается, что оно должно нацело делиться на 8.

Запишем числа в виде 1) 4х+1(где х -0,1,..) и (4х+1) образует последовательность 1,5,9...и 2) 4у-1 (где у-1,2,3.. ) и образуется последовательность 3,7,11...Видим что эти последовательности охватывают все нечётные числа.Если нечётные числа равны, то  разность их квадратов 0,на 8 делится.Доказывать нечего.В общем же случае получим 16x^2+8x+1-(16y^2-8y�+1)=16(x^2-y^2)+8(x+y�).Число 8 можно вынести за скобки.Вот и получается произведение двух сомножителей, один из которых 8.Значит и всё произведение делится на 8.Всё.