Однажды все дети одной семьи —— только родные братья и сёстры —— собрались вместе. Каждый ребёнок сделал одно из двух заявлений: «У меня в 8 раз больше братьев, чем сестёр» или «У меня в 9 раз больше братьев, чем сестёр». Какое количество детей может быть в этой семье, если все дети сказали правду?

Обозначим количество мальчиков в этой семье буквой x (икс), а количество девочек — буквой y (игрек).
Очевидно, что все мальчики равноправны. Как и все девочки равны в данной задаче между собой. Значит, одно из двух высказываний принадлежит мальчикам, а другое девочкам. Например, предположим, что 1-е высказывание (с числом — это мальчики, а 2-е (с числом 9) — это девочки.
Если взять одного какого-нибудь мальчика, то у него x – 1 брат, а сестёр у каждого мальчика y. Каждый мальчик сказал, что у него в восемь раз больше братьев, чем сестёр. Образуется первое уравнение: 8y = x – 1. [Т. е. если кол-во сестёр мальчика умножить на 8, то получится кол-во братьев мальчика.]
С другой стороны, у каждой девочки есть y – 1 сестра, а братьев у каждой девочки x. Девочки сказали, что у каждой из них в 9 раз больше братьев, чем сестёр. Значит, второе уравнение таково: 9(y – 1) = x. [Т. е. если кол-во сестёр девочки умножить на 8, то получится кол-во братьев девочки.]
Решаем систему:
1) 8y = x – 1;
2) 9(y – 1) = x.
Первое уравнение преобразуется так: x – 1 = 8y; x – 8y = 1.
Второе уравнение: x = 9(y – 1); x = 9y – 9; x – 9y = –9.
Можем переписать систему:
А) x – 8y = 1;
Б) x – 9y = –9.
Логичнее всего будет вычесть из уравнения А уравнение Б. Получится:
–8y – (–9y) = 1 – (–9);
–8y + 9y = 1 + 9;
y = 10 — это количество девочек.
Далее находим икс: x = 9y – 9 = 9 * 10 – 9 = 90 – 9 = 81. Это количество мальчиков.
Проверяем: 81 брат и 10 сестёр. У каждого мальчика 80 братьев и 10 сестёр; 80 : 10 = 8. У каждой девочки 81 брат и 9 сестёр; 81 : 9 = 9.
А всего детей 81 + 10 = 91 ребёнок. Такая вот жуткая семейка. Ну ладно, может быть, весёлая.
Для полноты решения задачи надо бы, конечно, попробовать рассмотреть также и вариант, когда высказывание с числом 8 принадлежит девочкам, а фраза с числом 9 — мальчикам. Но я готов взяться доказать, что такого быть не может. Получается система: 1) 9y = x – 1; 2) 8(y – 1) = x. Не буду её расписывать, но поверьте, что она приводит к паре отрицательных чисел: x = –80, y = –9. Не может быть отрицательное количество детей в семье, да и ещё, кроме того, для отрицательных чисел не определены понятия "больше во столько-то раз". Итак, остаётся один вариант, с положительными решениями.
Ответ: в этой семье был 91 ребёнок (81 мальчик и 10 девочек).
                                                                              модератор  выбрал этот ответ лучшим

Вот это задание на математической олимпиаде для школьников из десятых классов. Желаю всем участникам с ним справиться. Из условий данной задачи мы знаем, что у кого-то братьев, чем сестер больше в восемь раз, а у кого-то - в девять. Таким образом, можно предположить, что мальчиков в данной семейке намного больше, чем девочек. Есть у меня такие знакомые, родили восемь мальчиков, прежде, чем девочку дождались. Я, может, тоже когда-нибудь дочку рожу, пока есть три мальчика.
Количество братьев обозначим х, а сестер - у. Согласно условиям, получим уравнение x = 8y и x = 9y, соответственно, поскольку дели говорят, что братьев в 8 и в 9 раз больше. n будет неизвестное количество детей.
Получается, что количество детей в данной семье кратно 9 и 10.

Из начальных заявлений детей о том, что:
и
сразу же вытекают такие следствия:
1) Мальчиков в этой удивительной семье больше, чем девочек и больше в разы (в восемь, в девять раз).
2) Первое из этих заявлений явно идёт от девочек, а второе заявление явно идёт от мальчиков, ибо в этих сравнения каждый из них исключает себя, отчего и возникает эта разница в сравнении.
3) Если добавлять в сравнение самого заявившего, то получается, что количество мальчиков кратно девяти, а количество девочек кратно десяти.
4) При допуске, что девочек десятеро, получается, что мальчиков 81 человек и этот допуск удовлетворяет всем условиям задачи.