Иммануил открыл трёхмерный редактор Blender и создал в нём куб. Потом он поместил в центр каждой грани куба по точке и соединил их в октаэдр. Затем он увеличил полученный октаэдр в 8/5 раза (центр октаэдра остался на прежнем месте, октаэдр не поворачивался) и удалил из куба всё, что оказалось внутри октаэдра. Какая доля (по объёму) куба осталась? Доведите дробь до несократимой и в ответе укажите сумму её числителя и знаменателя. Или, если ответ иррациональный (только в этом случае) запишите его в виде десятичной дроби, до второго знака после запятой.

В сечении куба, сделанном параллельно грани и пересекающем центр, куб будет выглядеть квадратом.
Обозначим размер ребра куба буквой а.
Октаэдр в этом сечении будет выглядеть квадратом, с диагональю равной a₁=a.
После увеличения октаэдра в 8/5 раза диагональ сечения станет равной EG=8a/5=1,6a:
ABCD — сечение куба
EFGH — сечение октаэдра.
За пределы куба выступают все 6 вершин октаэдра, на величину �
��FO'=⁸/₅ᵃ/₂-ᵃ/₂=⁽⁸-⁵⁾ᵃ/₁₀=³ᵃ/₁₀=0,3a
Октаэдр можно рассматривать как две пирамиды, с квадратным основанием равной и высотой
FO=⁸/₅ᵃ/₂
Выступающая за пределы куба часть пирамиды имеет высоту 0,3a.
Размер диагонали основания этой маленькой пирамидки можно определить из подобия треугольников FJO'  и FOE.
JO'/EO=FO'/FO
Умножим левую часть равенства на 2 и разделим на 2
2JO'/2EO=FO'/FO
Получили
JK/EG=FO'/FO
JK=EG×FO'/FO=1,6a×0,3a/0,8a=0,6a
Объём пирамиды определяется по формуле:
V₁=⅓S₁×H₁, где S₁ — площадь основания, а H₁ — высота.
В основании выступающий части октаэдра лежит квадрат с диагональю JK=0,6a.
S₁=JK²/2=0,36a²/2=0,18a²
H₁=FO'=0,3a
V₁=⅓0,18a²×0,3a=0,018a³
Объём октаэдра равен:
V₂=2×⅓S₂H₂
S₂=EG²/2=1,6²/2=2,56a/2=1,28a²
H₂=FO=0,8a
V₂=2×⅓1,28a²×0,8a=⅓1,024a³=2048a³/3000
Объём октаэдра, заключённый внутри куба равен:
V₃=V₂-6V₁=⅓×2,048a³-6×0,018a³=(2048-324)/3000=1724a³/3000
Объём куба равен:
Vₖ=a³
От куба остался объём :
Vₖ=a³-1724a³/3000=(3000-1724)a³/3000=1276a³/3000
По объёму от куба осталось
(1276a³/3000)/a³=0,4253333....=0,425(3)=~0,42
Ответ: 0,42