Точки А и В находятся по разные стороны от забора высотой 8 метров.
А - на расстоянии 15 метров, В - на расстоянии 6 метров от забора и смещена вдоль него на 36 метров.
Из А в В через забор перекинута веревка минимальной длины.
Какова длина веревки?

На рисунке отрезок обозначающий расстояние от точки В до забора (длиной 6 м), не совсем перпендикулярен. Примем это за погрешность художника.
Элементарная стандартная задача на нахождение экстремума функции, в данном случае - минимума.
Обозначим точку касания верёвкой забора С, левый верхний угол забора (ближний к точке А) точкой D, и правый верхний угол забора - точкой Е. Обозначим длину отрезка DC как "х", соответственно длина отрезка СЕ равна (36-х).
Пишем формулу длины верёвки (L): L=√(15^2+8^2+x^2)+√(6^2+8^2+(36-x)^2), найдем производную dL/dx и приравняем её нулю:
dL/dx=x/√(289+x^2)+(x-36)/√(100+(36-x)^2)=0.
Чтобы упростить выкладки, обозначим длину СЕ как у, т.е у=36-х.
Получаем:x/√(289+x^2)-у/√(100+у^2)=0,
x/√(289+x^2)=у/√(100+у^2),
х*√(100+у^2)=у*√(289+x^2),
Возведём обе части в квадрат:
х^2*(100+у^2)=y^2*(289+x^2),
100*x^2+x^2*y^2=289*y^2+x^2*y^2,
100*x^2=289*y^2,
x^2/y^2=2,89,
x/y=1,7.
Решая систему:
{x+y=36,
{x/y=1,7
получаем у=40/3, х=68/3.
Подставляя найденные значения х и у в формулу длины верёвки:
L=√(15^2+8^2+x^2)+√(6^2+8^2+(36-x)^2)
находим: L=√(289+(68/3)^2)+√(100+(40/3)^2)=√(7225/9)+√(2500/9)=85/3+50/3=135/3=45.
                                                                              

Известно, что самое минимальное расстояние между точками – это отрезок прямой, соединяющий эти точки:
И узнать это расстояние между точками A и B элементарно – "вынуть" его из Пифагоровых штанов:
Но!
Всё было бы действительно просто, если бы не заборчик:
И он нам не просто приподнимет верёвку из точки M в точку N (то есть, удлинит её), но и поставит вопрос: а действительно ли верёвка ANB – самая короткая?
Я тут малость поизголялся и набросал крайние положения нашей верёвки на заборе: точки K и L. Естественно и очевидно, что в крайних положениях длина верёвки будет больше, чем при прохождении через точку N. И вычислить эти длины вполне реально через ту же теорему Пифагора.
Но нас интересует не это. Нас интересует, где же на заборе находится "та самая" точка G, которая даст нам удовольствие сделать длину верёвки минимальной.
Передвинем вертикаль MN несколько ближе к точке C:
Фрагмент AN, естественно, укоротился, фрагмент BN удлинился. Берём теорему Пифагора, считаем... Снова передвигаем вертикаль, снова считаем... Уже двигаем с точность до микрона. И считаем, считаем, считаем...
Проще – нельзя?
Давайте рассмотрим треугольник ABN в исходном, так сказать, его виде:
Что мы имеем? А имеем мы основание AB, длину которого мы уже (почти) вычислили из исходных данных, и высоту 8 м, тоже указанную в исходных данных. И надобно нам на основании AB найти такую точку F, чтобы вертикаль FG высотой 8 м дала нам минимальную сумму AG и BG...
Отставим в сторону дифференциальное исчисление и лимиты – помним, что мы семиклассники.
Лучше вспомним Якова Исидоровича Перельмана и его "Занимательную геометрию". Если не ошибаюсь, в издании 1950 года была задача, основанная на легенде об основании Румельской крепости, Румелихисары на турецком языке.
Вкратце: султан Мехмед II выканючил у императора Константина XI "хоть небольшой клочок земли" возле Константинополя. Император пообещал такой дар, но в насмешку оговорил размер: сколько сможешь огородить шкурой быка. Сам ли Мехмед этим занимался или кого припахал – но к утру шкура быка была разрезана на тонюсенькие полоски и эти полоски связаны в одну "верёвку", которой отмеряли нехиленький такой шмат земли...
Задача у Перельмана звучала так: какой формы должен быть участок, чтобы при одинаковой длине верёвки оттяпать у императора как можно больше земли в дар. И в процессе решения этой задачи Перельман мимоходом показывает, что наибольшая площадь при одинаковом периметре получается у правильных геометрических фигур. То есть, правильный треугольник, квадрат, круг...
А почему бы нам не воспользоваться этой подсказкой, но только в противоположном направлении. Давайте докажем, что равнобедренный треугольник имеет наименьший периметр среди треугольников с одинаковыми основанием и высотой.
Пусть мы имеем равнобедренный треугольник RST с основанием RS и высотой h.
В силу определения "равнобедренный" RT = ST. Но вместо того, чтобы двигать точку T по горизонтали и доказывать, что периметр вновь образовавшегося треугольника больше периметра исходного треугольника – упростим себе жизнь: забудем на время о высоте h и построим фигуру, которая есть геометрическим местом точек, сумма расстояний которых к точкам R и S неизменна. Думаю, многие уже вспомнили определение этой фигуры. И одно из основных свойств: сумма расстояний от фокусов до любой точки есть величина постоянна:
Совершенно верно, это эллипс. И абсолютно очевидно, что отклонение вершины T треугольника RST от серединного перпендикуляра основания RS при соблюдении той же суммы длин сторон RT и ST приводит к уменьшению высоты h для этой точки. А соблюдая высоту h (точка T ') – получим и RT' > RT, и ST' > ST.
А теперь мы имеем простой метод решения исходной задачи. Найдем точку F на равном расстоянии от A и B:
Поднимем от неё перпендикуляр FG высотой 8 м и получим точку G. Верёвка, протянутая от A к B через точку G – и будет минимальной длины:
И "вытащить" эту длину мы можем опять-таки из Пифагоровых штанов:
Желаете-с в виде числа? Извольте:
И сложив обе половинки, получаем минимальную длину верёвки
Метров, естественно. Это составляет 44.643 м (с точностью до третьего знака).
Что вы говорите? Точки F и G получились не на заборе?
А кто запрещает нам сделать поворот исходной AB вокруг вертикальной оси, проходящей через точку A, так, чтобы высота FG совпала с забором? Вот так:
Теперь точка B "не в себе". Повторим поворот: треугольник BFG повернём вокруг FG так, чтобы точка B вернулась на исходную:
Вот и весь сказ...

Ладно, раз говорят - школьная задачка, то и попробуем решить по-школьному. Без тангенсов (хоть это тоже школа...), производных и эллипсов. А чисто из подобия треугольников и теоремы Пифагора, ибо - куда ж без Пифагора...
Рисунок и обозначения:
AB, как тут все согласились, - прямая. Стало быть, треугольники АСЕ и BDE подобны. К тому же они прямоугольные. Откуда следует, что длина отрезка АВ вычисляется по теореме Пифагора и равна корню из (15+6)²+36² = sqrt(1737). Пока оставим так, до конкретных значений доползём...
Треугольники AEF и BEF оба прямоугольные, причём один катет у них общий и известный (, а два других катета в сумме равны вот только что найденному значению. Отношение их тоже известно = 6:15 = 2:5. Значит, длина каждого легко вычисляется, по сумме и отношению (простенькая система, но можно и методами четвёртого класса). Раз отношение катетов 2/5, то отношение квадратов катетов равно 4:25. Сумма же квадратов катетов равна 1296 (квадрату гипотенузы). Из этого простого и уже линейного соотношения находятся квадраты АЕ и ВЕ (178,76 и 1117,24). Отсюда, в общем-то, находятся и сами катеты, но они нам и не нужны - нам нужны именно квадраты. Потому что AF и BF - гипотенузы для этих катетов и для общего EF, и остаётся ещё дважды применить теорему Пифагора.
Окончательно получаем AF=15,58, BF=34,37 и вся верёвка - 49,95 метра.

Обозначим красную точку касания верёвкой забора буквой С, крайние точки забора Е и К. Соединим точки А и В прямой линией, которая пересечет основание забора в точке Д. Из точки С опустим перпендикуляр к основанию забора, который пересечет линию основания забора ЕК в точке Д по условию минимальной длины веревки, то-есть прямая АВ будет проекцией веревки на плоскость проходящую через АВ и линию основания забора. Углы АДЕ и ВДК равны как накрест лежащие, что очевидно по подсказке  Rafail, тогда прямоугольные треугольники АЕД и ВКД подобны. Из подобия треугольников следует ДЕ/АЕ=ДК/ВК и после подстановки известных АЕ=15, ВК=6, ЕК=36, CД=8, получаем ДЕ/ДК=5/1, ДЕ=30, ДК=6, АД^2=1125, АС^2=1189, АС=34,48..., ВД^2=72, СВ^2=136, СВ=11,66..., длина веревки 46,...

На первичном рисунке точку касания веревки на заборе обозначим F.  Ее проекцию под забором  точкой Е.
16 + 5 = 21 м.
21/36 =0,583(3) =  Tg 30 град.15 мин.
AE  = 16/sin30гp.15 мин. = 16/0,5037 = 31,76 м.
BE = 5/sin30гp.15 мин. = 5/0,5037   = 9,31 м.
AF + FB = 32,75 м. + 12,28 м. = 45 м.
(Если в чем ошибся - подскажите; если надо - подсчитайте точнее. Я мог и ошибиться (калькулятор барахлит, некоторые черточки не видно.)