В мешке лежат карточки с четырьмя буквами А, Т, О, М по одной букве на карточке. Общее количество карточек 26. Известно, что карточек с буквой Т меньше чем с буквой О, а карточек с буквой О меньше чем с буквой М. Из мешка не глядя извлекают несколько карточек и из букв на извлечённых карточках составляют слова. Чтобы гарантированно можно было собрать слово "АТОМ" нужно вытащить минимум 22 карточки. Чтобы слово "ТОМ" - 21 карточку, а чтобы слово "ОМ" - 20 карточек. Сколько карточек каждого вида в мешке. Ответ обоснуйте.

Если для того, чтобы собрать слово ТОМ, нужно вытащить минимум 21 карточку, значит букв А=26-21=5 Мы знаем также, что букв О больше, чем букв Т, а букв М больше, чем О. Кроме того, видно, что количество букв различается ровно на 1, так как сумма вытащенных карточек отличается на 1, тогда Т=6, О=7, М=8.
Проверим, для того, чтобы составить АТОМ, нужно вытащить все буквы Т, О и М и хотя бы одну А, то есть 6+7+8+1=22 карточки.
Чтобы составить слово ТОМ, нужно вытащить все буквы А, все О, все М и хотя бы одну Т (так как их количество минимально), или 5+7+8+1=21 карточки.
Чтобы составить слово ОМ, нужно вытащить все А, все Т, все М и хотя бы одну О, или 5+6+8+1=20 карточек. Всё верно.
Ответ: А=5, Т=6, О=7, М=8.
                                                                              

Из условия, что составить гарантировано "ОМ" надо 20 карточек, означает, что среди 19 карточек не будет или буквы "О" или буквы "М", а всего карточек 26 и значит все оставшиеся 7 карточек одна и та же буква "О" или "М": То есть или "О" - 7 штук или "М" - 7 штук. Меньше нельзя. Но меньшее "О". Тогда "О" - 7 штук
Теперь рассмотрим условие про "ТОМ" - 21 карточку.
Пусть у нас будет такой вариант, что попались эти 7 карточек "О", тогда останется всего 19 карточек в мешке и взяв 13 карточек все ещё может не сложиться слово "ТОМ". А следующая карточка даст нужную букву. Значит оставшиеся 6 карточек с одной и той же буквой: или "Т" или "М". И поскольку "М" меньше быть не может, чем "О", то  "Т" - 6 карточек
Аналогично с условием "АТОМ" - 22 карточки.
Пусть попадутся 7 карточек с буквой "О" и 6 с буквой "Т" из примеров выше. Итого 13 карточек на 2 буквы. Осталось: 26-13 = 13 карточек в мешке и взяв 8 карточек все ещё может не сложиться слово "АТОМ", а следующая карточка будет с нужной буквой. Значит оставшиеся 5 карточек будут с буквой: "A";  ("М" меньше быть не может)
Таким образом получили: 5 карточек с одной буквой; 6 с другой; 7 с третьей; и 8 с четвертой;
"О" - 7 штук, тогда "М" - 8 штук, "Т" - 6 штук и "А" - 5 штук
Ответ: "А" - 5; "Т" - 6; "О" - 7; "М" - 8