В конусе проведено сечение, параллельное основанию, так, что оно делит высоту в отношении 1:3, считая от вершины. Найдите объём отсечённого конуса, если объём первоначального конуса равен 512 см^3. Ответ дайте в см^3.

Объем конуса - это одна третья произведения площади основания на его высоту. Круг - основание конуса. (нам нужна площадь круга) Таким образхом объемV = 1/3 Sоснования · h =1/3 ? D 2/4 · h
По рисунку
Треугольники АВС и АНМ – подобны по величине трех углов. Из этого следует:
ВС : НМ = AO : AS = 1 : 4 (известно по условию, что AO : OS = 1 : 3), получаем
НМ = 4ВС
AS = 4AO
Следовательно первоначально объем конуса:
V1 = 1/3 ?D2/4 · h = 1/3 ? · НМ2 · АS =1/3 ? · (4BC)2 · (4AO) = 512
Объём второго конуса (отсеченного) будет рассчитываться по формуле:
V2 = 1/3 ?D2/4 · h = 1/3 ? · ВС2 · AO
Найдем, во сколько раз объем большого конуса больше отсекаемого. Найдем отношение объема V1 конуса на V2 :
V1 / V2 = (1/3 ? · (4BC)2 · (4AO))  / (1/3 ? · ВС2 · AO) = в 64 раза объем большего конуса больше  отсекаемого.
Найдем обьем, отсекаемого от первоначального конуса, плоскостью:
V2 = V1 / 64 = 512 / 64 = 8 см3.
                                                                              

Получившийся конус имеет высоту в 4 раза меньшую, чем исходный. Значит объем уменьшился в 4^3 раз.
Итого: V=512/64 = 8 см^3.