Центр O окружности, вписанной в четырёхугольник ABCD, совпадает с точкой пересечения диагоналей этого четырехугольника. Найдите периметр четырёхугольника ABCD, если известно, что AB=35.

Нарисуем рисунок. (то что он похож на какую то фигуру, это ещё ничего не значит, но это подсказка, которую предстоит доказать)
1) Известно, что центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис.
Тогда рассмотрим диагональ AC. Она будет биссектрисой углов ∠BAD и ∠BCD
Значит ∠BAO = ∠DAO и ∠BCO = ∠DCO
2) Рассмотрим ∆ACB и ∆ACD: эти треугольники равны по двум углам и стороне между ними (AC - общая). Следовательно ∠ABC = ∠ADC и AB = CD и AD = BC
3) Аналогично можно рассмотреть диагональ BD - биссектриса, значит ∠ABD = ∠ABC/2 и ∠ADB = ∠ADC/2 и следовательно ∠ABD = ∠ADB, а значит ∆BAD - равнобедренный и AB = AD
4) Получили AB = AD = DC = BC = 35; Тогда периметр P = 35 • 4 = 140
Да, действительно фигура ромб. (все стороны оказались равными)
Ответ: 140