Целое число a при делении на натуральное число m дает остаток r. Докажите, что числа куб а и куб r дают при делении на m одинаковые остатки.

               Конечно такая задача проще решается сравнением чисел по модулю m. Но предположим, что это задача для обычного школьника, который только знает о понятии деления с остатком и знаком с алгебраическими преобразованиями.
Выпишем формулу деления с остатком
a = m • k + r, где k и r - целые, причем 0 ≤ r < |m|
Тогда остаток при делении r на m  будет так же r: r = 0•m + r, 0 ≤ r < |m|
Теперь возведем исходные числа в куб и посчитаем остатки
a³ = (mk + r)³ = (mk)³ + 3m²k + 3mk² + r³ = m•(m²k³ + 3m²k + 3mk²) + r³
(m²k³ + 3m²k + 3mk²) - многочлен из целых чисел будет неким целым числом, назовем q
Тогда a³ = mq + r³. Но r³ можно представить, как r³ = m•p + z (деление с остатком на m)
Тогда a³ = m(q+p) + z, то есть z - остаток от деления.
А для r³при делении на m уже записали представление деления с остатком на m
r³ = m•p + z, то есть z - тоже остаток от деления.
Получили равные остатки
Ч.т.д.