У царя есть 7 мешков с золотыми монетами, в каждом по 100 монет. Царь с мудрецом знают, что одном мешке все монеты весят 7 г, во втором 8 г, в третьем 9 г, в четвёртом 10 г, в пятом 11 г, в шестом 12 г, в седьмом 13 г.
Царь решил проверить знания мудреца. Мешки были расставлены в случайном порядке, так что бы мудрец не знал где какой и царь указал на один из мешков.
Мудрец может вынимать из этого и из других мешков любое количество монет, но на вид они все одинаковы. Однако у мудреца есть большие двухчашечные весы без гирь (они точно покажут, равны ли веса на чашках, а если нет, то какая чашка тяжелее). Может ли мудрец определить, какого веса монеты в указанном мешке, сделав не более двух взвешиваний?
И дополнительное задание. При вашем решении сколько монет будет достаточно в мешке (во всех мешках одинаковое количество монет)? Выиграет тот кто сможет использовать меньшее количество монет.

Пусть вес монеты в этом мешке равен х.
На одну чашу положим все монеты по одной, то есть:
7+8+9+10+11+12+13=70.
На вторую положим 7 монет по х граммов
Пусть 7х=70,тогда сразу определяем, что х=10
Пусть 7х<70,тогда х=7,8 или 9
При 7х>70,х=11,12 или 13,то есть это аналогичный случай.
Для определенности пусть х=7,8 или 9.
Из чаши в 70 граммов уберем нашу монету в х граммов, мы же ее знаем.
Будет (70-х).
Положим всего п наборов, (п мы потом определим), а на другую к монет по х граммов(тоже к определим)
п(70-х)=кх
70п-пх=кх
х=70п/(п+к)
Если х=7,то 10п=п+к
к=9п
Если х=8,то 31п=4к, то есть к=31,а п=4
Если х=9,то 61п=9к
То есть Воспользуемся вариантом для х=8
Слева 4 комплекта(70-х).
Справа 31 монета по х граммов.
Если весы в равновесии то х=8
А теперь пусть х=7.
Тогда будет слева 4*63=252
Справа 31*7=217
Левая чаша перевесит.
Теперь, пусть , например х=9,
тогда слева будет4*61=243
А справа будет 9*31=279,
То есть правая чаша перевесит
Вот такой вариант для х=7,8,9.
А теперь, поскольку, для х=11,12,13 будут другие значения приведем решение и для этого случая.
х=70п/(п+к)
Пусть х=11.,тогда
59п=11к,то есть к=59,п=11
Пусть х=12,тогда 29п=6к
И к=29,а п=6
Пусть х=13,тогда 57п=13к
И к=56,п=13
Теперь делаем весы.
Слева 6 наборов (70-х)
Справа 29 монет по х.
Пусть х=11..
Слева 6*59=354..
Справа 29*11=319.
Перевесит левая чаша.. Пусть х=12,тогда весы будут в равновесии
6*58=29*12
348=348.
Пусть х=13.
Слева 6*57=342
Справа 29*13=377
Перевесит правая чаша.
Вот такое вот рассуждение для вашей задачи.
                                                                              

Так как мудрецу можно доставать любое количество монет из мешков, то он может достать из каждого мешка по 10 монет.
Суммарный вес такого набора монет будет:
(7+8+9+10+11+12+13)*10=700.
Далее будем использовать его как ориентир для определения веса других монет и ставим на одну чашу весов. Берем 70 монет из указанного мешка (вес которых надо определить) и ставим на другую чашу.
Если весы уравновесились, значит взятые монеты весят 10 граммов и мудрец может дать ответ царю.
Если же монеты оказались тяжелее или легче набора, то тогда переходим ко второму взвешиванию.
Если монеты оказались тяжелее, значит они весят 11, 12 или 13 г. Тогда на одну чашу весов надо положить по 12 монет из каждого мешка (суммарный вес будет 840г). А на другой остаются те же 70 монет, вес которых мы определяем.
Если весы в равновесии, значит монеты весят 12г, если монеты перевесили, значит 13г, а если монеты легче, значит 11г.
Точно также же действуем если после первого взвешивания монеты оказались легче, только на контрольную чашу весов кладем по 8 монет из каждого мешка (суммарный вес 560г).
Если весы в равновесии, значит монеты весят 8г, если монеты перевесили контрольный мешок, значит 9г и если легче, значит 7.
Таким образом получаем, что мудрец может определить вес монет в указанном мешке сделав не более двух взвешиваний.

Если изменить решение на аналогичное, но немного изменённое:
1) Набираем по одной монете только из шести мешков, кроме искомого, а из искомого мешка набираем шесть монет.
Имеем такой расклад для первого взвешивания:
тотоже выходим на мешок с монетами в 10г, или больше, или меньше.
2) Далее к 6 монетам из искомого мешка добавляем или 23 монеты (всего 29 монет), или 25 монет (всего 31 монета) для того, чтобы взвесить их с 6-ю монетами (1 + 5 и контрольный вес 348г) или с 4-мя монетами (1 + 3  и контрольный вес 248г) из оставшихся шести мешков.
Итого, максимум 31 монета, что и в решении  Евген�ия Трохо�ва.

Увы, алгоритм решения уже найден Chris�tinaS, мне остаётся только оптимизировать его.
Нет ничего проще, как поделить всё на два.
Эталон не по десять монет, а по пять, что даёт общий вес в 350г, из искомого мешка взять не 70 монет, а только 35, что даёт такой расклад:
выходим сразу на середину 350г, или на серединки середины 420г, или 280г, что обеспечивается уже не 12 монетами, а только шестью и не восемью монетами, а только четырьмя.
Итого:
5 + 35 + 1 = 41 монета,   
или
5 + 35 + 4 = 44 монеты,
максимум 44 монеты.